Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Analyse variationnelle des équations aux dérivées partielles Polycopié du cours

Analyse variationnelle des équations aux dérivées partielles Polycopié du cours MAP 431 Département de Mathématiques Appliquées Grégoire ALLAIRE - François ALOUGES École Polytechnique, année 2015 - 2016 2 2 Sommaire Sommaire Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 1 LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Éléments ﬁnis P1 en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 III Éléments ﬁnis P2 en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV Éléments ﬁnis en dimension N ≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 V Pour aller plus loin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 V.1 Éléments ﬁnis rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 V.2 Notes historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 V.3 Maillage uniforme ou non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES . . . . . 20 I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II Approche variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II.1 Formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 III Théorie de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 III.1Cadre abstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 III.2Application au Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 IV Pour aller plus loin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 IV.1 Régularité des ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 IV.2 Notes historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 ESPACES DE SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 I Introduction et avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II Fonctions de carré sommable et dérivation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.1 Quelques rappels d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.2 Dérivation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III Déﬁnition et principales propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 III.1Espace H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 III.2Espace H1 0(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 III.3Traces et formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 III.4Un résultat de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III.5Espaces Hm(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 IV Pour aller plus loin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES . . . . . . . . . . . 47 I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 II Étude du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 II.1 Conditions aux uploads/s3/ analyse-variationnelle-des-equations-aux-derivees-partielles-pdf.pdf