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LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI I. Tester ses connaissances et sa compréhension

LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours 1) Retrouver l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide indéformable. 2) Énoncer le théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe. 3) Retrouver l'équation du mouvement du pendule pesant et du pendule de torsion. 4) Retrouver l'expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe. II. Questions de réflexion – Physique pratique 1) Comment différencier un œuf dur d'un œuf cru ? Pour savoir si un œuf est dur ou non, il suffit de le faire tourner sur un support et de l'observer... Faites l'expérience !!! a) Expliquer pourquoi l’œuf dur atteint une vitesse angulaire maximale plus élevée que l’œuf cru. b) Pourquoi l’œuf dur reste-t-il en rotation plus longtemps que l’œuf cru ? 2) Puissance d'un couple moteur dans un hélicoptère Un hélicoptère Robinson R44 nécessite au décollage une puissance P ≈ 180 cv avec des pales tournant environ à 7 tours.s-1. Quel est le couple exercé par le moteur sur les pales ? Données : 1 cheval vapeur (1 cv) vaut 736 W. 3) Effondrement du Soleil On pense qu'à la fin de sa « vie » actuelle, dans environ cinq milliards d'années, le Soleil s'effondrera en une Naine Blanche, un astre à très forte densité concentrant la masse du Soleil sur une boule de rayon équivalent au rayon terrestre. a) Montrer que le moment cinétique scalaire du Soleil par rapport à son axe de rotation reste constant au cours de cet effondrement. b) Évaluer les moments cinétiques scalaires du Soleil, ainsi que de la Naine Blanche, en fonction de leur masse commune m = 2.1030 kg, de leurs périodes de rotation TS ≈ 1 mois et Tnb, et des rayons solaire RS = 7.105 km et terrestre Rt = 6400 km. Le moment d'inertie d'une boule homogène de masse m et de rayon R est J Oz=2mR 2 5 c) En déduire la période de rotation de la Naine Blanche. 4) Fonte des glaces et durée du jour Expliquer comment évolue la durée du jour pendant une ère de glaciation. On considérera que la glace se forme majoritairement aux pôles. TD 19 : Solide en rotation autour d'un axe fixe LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI III. Exercices d'entraînement 1) Chute d'un arbre On assimile un arbre à une tige longue et homogène de longueur L et de masse m. On le scie à sa base et l’arbre bascule en tournant autour de son point d’appui au sol. On suppose que le point d’appui reste fixe et ne glisse pas. On repère la position de l’arbre par l’angle θ(t) qu’il fait avec la verticale. À t = 0, l’arbre fait un angle θ0 = 5° avec la verticale et est immobile. On donne le moment d’inertie par rapport à son extrémité J =mL 2 3 1. Établir l’équation du mouvement de chute de l’arbre. 2. Montrer que, lorsque l’arbre fait un angle θ(t) avec la verticale, sa vitesse angulaire vaut : ˙ θ=√ 3g L (cosθ 0−cosθ) 3. Montrer que cette solution peut être réécrite sous la forme : √ 3 g L dt= d θ √cosθ 0−cosθ 4. Déterminer le temps de chute d’un arbre de 30 m. On donne pour θ0 = 5° : ∫ θ0 π 2 ( d θ √cosθ0−cosθ )=5,1 2) Étude d'une poulie Une masse m = 5 kg est suspendue à l’extrémité d’une corde enroulée sur une poulie de masse mp = 1,0 kg et de rayon R = 10 cm en liaison pivot idéale autour de son axe. Le moment de la poulie par rapport à son axe vaut J =mp R 2 2 1. Si l’opérateur impose à la poulie un mouvement de rotation uniforme autour de son axe à la vitesse angulaire ˙ θ , déterminer la vitesse de la masse m. 2. Si l’opérateur retient la poulie pour l’empêcher de tourner, déterminer la force qu’il doit exercer. 3. Si l’opérateur lâche la poulie, déterminer l’accélération angulaire ¨ θ du cylindre, l’accélération linéaire ¨ x de la masse m et la valeur de la tension de la corde. LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI 3) Approche énergétique du pendule pesant Un pendule pesant est constitué d'une tige homogène de masse m et longueur L en pivot parfait autour de l'axe (Ox). Sa position est repérée par l'angle θ(t). Le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe (Ox) est J Ox= mL 2 3 1. Évaluer l'énergie cinétique de la tige à un instant quelconque. 2. Faire de même avec son énergie potentielle de pesanteur. 3. Quelles sont les actions extérieures subies par la tige ? Calculer leur puissance. 4. En déduire les positions d'équilibre et leur stabilité. 5. Trouver une intégrale première du mouvement. En déduire l'équation du mouvement de la tige. 6. La résoudre dans le cadre des petites oscillations sachant qu'initialement la tige est dans la position verticale θ(t=0) = 0, avec une vitesse angulaire ω0 > 0. Donner une condition sur ω0 pour être effectivement dans cette approximation. 7. On ne se place plus forcément dans le cadre des petites oscillations. En faisant une étude énergétique, montrer que suivant les valeurs ω0 de deux types de mouvement sont possibles. Les décrire. Quelle valeur de ω0, notée ωC, est à la limite des deux situations ? 4) Cylindre coincé Un cylindre homogène, de centre C, de masse m, de rayon a et de moment d'inertie par rapport à l'axe (Cz) valant J Oz=ma 2 2 , tourne avec une vitesse angulaire initiale ω0. On note f le coefficient de frottement de glissement entre le cylindre et les parois (sol ou mur). Le cylindre est supposé rester en contact avec le sol et le mur. La réaction du mur sur le cylindre est notée ⃗ R et celle du sol ⃗ R ' 1. D'après les lois de Coulomb, que peut-on dire des composantes tangentielles de ⃗ R et ⃗ R' ? 2. En appliquant les théorèmes de la dynamique au cylindre, trouver une équation satisfaite par la vitesse angulaire ω(t). 3. Quand le cylindre s'arrête-t-il de tourner ? ω0 C y x LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI 5) De quel côté tombent les tartines beurrées ? Existe-t-il une raison pour laquelle les tartines beurrées tomberaient plus souvent du côté beurré ? Le but de cet exercice est d'apporter une réponse. Considérons une tartine homogène (longueur 2a, largeur 2b, épaisseur 2e et masse m) posée sur une table. Sans faire attention, une personne la pousse vers un bord très lentement. Quand le milieu de la tartine atteint le bord O, la tartine amorce une rotation autour de l'arête (Oy). L'action de la table sur la tartine est modélisée par une force ⃗ R=T ⃗ eθ+N ⃗ er appliquée en O. On note θ(t) l'angle entre la tartine et la verticale. On donne le moment d'inertie de la tartine selon (Oy) : J Oy=1 3 m(a2+4e2) 1. A l'aide d'une approche énergétique, exprimer ¨ θ en fonction de θ(t), ainsi que ˙ θ en fonction de θ(t) . 2. Retrouver l'expression de ¨ θ en fonction de θ(t) à l'aide d'un théorème de la dynamique. 3. Appliquer le théorème de centre de masse à la tartine, projeter sur les vecteurs ⃗ er et ⃗ eθ , et déterminer T et N. Simplifier ces expressions vu que a = 4 cm et e = 0,4 cm. La tartine peut-elle quitter la table sans glisser ? Comme le coefficient de frottement table/tartine vaut à peu près 1, à quel angle θ0 la tartine commence- t-elle à glisser ? 4. A partir de cet instant pris comme origine du temps, la tartine quitte la table en un temps très bref, conservant quasiment la même orientation θ0 et la même vitesse angulaire. Quelle est, après avoir quitté la table, la loi d'évolution de zG(t), où G est le barycentre de la tartine, en supposant que la tartine ne retouche plus la table ? 5. Déterminer le temps τ pour lequel la tartine touche le sol. On considérera que la hauteur h de la table est évidemment nettement supérieure aux dimensions de la tartine et que la vitesse initiale de la tartine est très faible devant sa vitesse finale. 6. On admet que pendant la phase de vol, la vitesse angulaire de la tartine reste constante, égale à ω0. Quelle est son expression ? En déduire θ(τ). Application numérique pour h = 70 cm. 7. De quel côté tombe donc la tartine, si on suppose qu'il n'y a pas de rebond ? 8. Des astronautes prennent leur petit-déjeuner sur la Lune. De quel côté tombent les tartines ? ⃗ er ⃗ ez ⃗ e y ⃗ eθ LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI 6) Araignée sur disque Un disque homogène, de masse M et de rayon a, tourne sans frottements autour de l'axe (Oz) à la vitesse angulaire ω0 (pour le disque J Oz=ma 2 2 uploads/s3/ td20-solide-en-rotation-axe-fixe 1 .pdf