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Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d

Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d’exercices 30 1 SERIE D’EXERCICES N° 30 : FLUX DU CHAMP ELECTROSTATIQUE, THEOREME DE GAUSS DIPOLE ELECTROSTATIQUE Distribution à symétrie plane. Exercice 1. 1. Déterminer le champ créé en un point M de l’espace par une couche plane infinie d’épaisseur e et de charge volumique ρ uniforme. 2. En déduire le potentiel V(M) en faisant le choix V = 0 sur le plan médian de la distribution. 3. Donner la représentation graphique de E(M) et de V(M) . Distribution à symétrie cylindrique. Exercice 2. 1. Déterminer le champ créé en un point M de l’espace par un cylindre d’axe (Oz) , de rayon R , à l’intérieur duquel se trouve une charge volumique uniformément répartie ρ . 2. En déduire le potentiel V(M) à une constante près. 3. Donner la représentation graphique de E(M) et de V(M) . Vérifier la concordance avec la représentation symbolique « en relief » du potentiel obtenue avec Maple et donnée ci-contre. Exercice 3. 1. Déterminer le champ créé en un point M de l’espace par un cylindre d’axe (Oz) , de rayon R , portant la charge surfacique uniforme σ . 2. En déduire le potentiel V(M) à une constante près. 3. Donner la représentation graphique de E(M) et de V(M) . Vérifier la concordance avec la représentation symbolique « en relief » du potentiel obtenue avec Maple et donnée ci-contre. Distribution à symétrie sphérique. Exercice 4. 1. Déterminer le champ créé en un point M de l’espace par une boule de rayon R à l’intérieur de laquelle se trouve une charge volumique uniformément répartie ρ . 2. En déduire le potentiel V(M) en fixant V(∞) = 0 . 3. Donner la représentation graphique de E(M) et de V(M) . Principe de superposition. Exercice 5. Une boule de rayon a portant la charge volumique uniformément répartie ρ possède une cavité sphérique de rayon b vide de charges. 1. Déterminer le champ dans la cavité. O2 b O1 a 2. Interpréter les représentations des lignes de champ et des équipotentielles données ci-dessous : Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d’exercices 30 2 Analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel. Exercice 6. Un astre sphérique de rayon R possède une répartition de masse à symétrie sphérique. Quel est le champ gravitationnel créé à une distance r supérieure à R de son centre ? (On appliquera le théorème de Gauss.) Dipôle électrostatique. Exercice 7 : force subie par un dipôle dans un cas unidimensionnel. Un dipôle placé en un point de coordonnées cartésiennes ( x , y , z ) est soumis au champ r r E E x ux = ( ) . Calculer, à l’aide du modèle du doublet, puis à l’aide de son expression, la force subie par le dipôle lorsque : 1. r p est parallèle à r ux ; 2. r p est perpendiculaire à r ux . Exercice 8 : actions exercées par un fil infini chargé sur un dipôle. Déterminer les actions mécaniques exercées par le champ d’un fil rectiligne infini portant la charge linéique uniforme λ sur un dipôle placé en M dans un plan perpendiculaire au fil comme indiqué ci-contre. Pour déterminer la force, on utilisera successivement les deux méthodes suivantes : 1. en utilisant l’expression : r r r F p grad E = →  ( . ) ; 2. en utilisant l’expression : r r r F grad p E = →  ( . ) à r p cte = →  . Exercice 9 : potentiel et champ d’un quadripôle. En un point O est placée la charge +2q . Deux points A et B symétriques par rapport à O portent chacun la charge -q . On pose OA = OB = a . On se propose d’étudier le champ créé par cette distribution en un point M éloigné. On pose OM = r >> a et θ = ( OA , OM ) . 1. Quel est le moment dipolaire de cette distribution ? 2. Exprimer le potentiel V en M en fonction de r et de θ . 3. Calculer les composantes radiale et orthoradiale du champ en M . 4. Etablir l’équation polaire des lignes de champ. Interpréter la carte donnée ci-dessous : Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d’exercices 30 3 Réponses ( les vecteurs sont ici notés en caractères gras). Exercice 1. 1) E z (z) = 0 z ε ρ si |z| < e / 2 ; Ez (z) = 0 2 e ε ρ si z > e / 2 ; Ez (z) = - 0 2 e ε ρ si z < - e / 2 . 2) V (z) = - 0 2 2 z ε ρ si |z| < e / 2 ; V (z) = - 0 2 e ε ρ ( |z| - 4 e ) si |z| > e / 2 . 3) Ez (z) V (z) ρe/(2ε0) 0 z 0 z -e/2 +e/2 −ρe/(2ε0) Exercice 2. 1) Pour r < R : E r (r) = 0 2 r ε ρ ; pour r > R : E r (r) = r 2 R 0 2 ε ρ . 2) Pour r < R : V (r) = 0 4ε ρ ( R2 – r2 ) + V (R) ; pour r > R : V (r) = - R r ln 2 R 0 2 ε ρ + V (R) . Er (r) V (r) ρR2/(4ε0) + V (R) ρR/(2ε0) V (R) R R 0 r R Exercice 3. 1) Pour r < R : E = 0 ; pour r > R : E r (r) = r R 0 ε σ . 2) Pour r < R : V (r) = V (R) ; pour r > R : V (r) = - R r ln R 0 ε σ + V (R) . Er (r) V (r) σ/ε0 V (R) R R 0 r R Exercice 4. 1) Pour r < R : E r (r) = 0 3 r ε ρ ; pour r > R : E r (r) = 2 0 3 r 3 R ε ρ . 2) Pour r < R : V (r) = - 0 2ε ρ ( r2 / 3 – R2 ) ; pour r > R : V (r) = r 3 R 0 3 ε ρ . Er (r) V (r) ρR2/(2ε0) ρR/(3ε0) ρR2/(3ε0) 0 r 0 r R R Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d’exercices 30 4 Exercice 5. 1) E (M) = 0 3 ε ρ O1O2 . Exercice 6. Gr (r) = 2 r M G . Exercice 7. 1) F = p dx ) x ( dE ux . 2) F = 0 . Exercice 8. 1) F = 2 0r 2 p ε π λ ( - cos α ur + sin α uθ θ ) . 2) Γ Γ = - r 0 2 sin p ε π α λ uz . Exercice 9. 1) p = 0 . 2) V (M) = 3 0 2 r 4 a q ε π ( 1 – 3 cos2 θ ) . 3) E r = 4 0 2 r 4 a q 3 ε π ( 1 – 3 cos2 θ ) et Eθ = - 4 0 2 r 4 a q 6 ε π cos θ sin θ . 4) r = µ |sin θ| θ cos . uploads/s3/ tdchamps-2.pdf