Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

"SIGNATURE" • UNE MANIÈRE DE REPRÉSENTER L'ENSEMBLE DE MANDELBROT BENOIT MANDEL

"SIGNATURE" • UNE MANIÈRE DE REPRÉSENTER L'ENSEMBLE DE MANDELBROT BENOIT MANDELBROT LES OBJETS FRACTALS Forme, hasard et dimension QUATRIÈME ÉDITION revue FLAMMARION C) 1975, 1984, 1989, 1995 by Benoît Mandelbrot Printed in France ISBN : 2-08-081301-3 In Memoriam, B. et C. Pour Ailette - 1111I , • LISTE DES CHAPITRES PRÉFACES 1 I INTRODUCTION 5 H COMBIEN MESURE DONC LA COTE DE LA BRETAGNE? 20 III LE ROLE DU HASARD 43 IV LES ERREURS EN RAFALES 50 V LES CRATÈRES DE LA LUNE 65 VI LA DISTRIBUTION DES GALAXIES 72 VII MODÈLES DU RELIEF TERRESTRE 102 VIII LA GÉOMÉTRIE DE LA TURBULENCE 124 IX INTERMITTENCE RELATIVE 135 X SAVONS, ET LES EXPOSANTS CRITIQUES COMME DIMENSIONS 140 XI L'ARRANGEMENT DES COMPOSANTS D'ORDINATEUR 144 XII ARBRES DE HIÉRARCHIE OU DE CLASSEMENT 147 XIII LEXIQUE DES NÉOLOGISMES 153 XIV APPENDICE MATHÉMATIQUE 159 XV ESQUISSES BIOGRAPHIQUES 170 XVI REMERCIEMENTS ET CODA 182 BIBLIOGRAPHIE 184 PRÉFACE À LA QUATRIÈME ÉDITION, PUBLIÉE EN "FORMAT DE POCHE" Le Professeur Carlos Fiolhais, que l'éditeur Gradiva de Lisbonne a chargé de la traduction portugaise de ce livre, m'a livré une nouvelle collection de menues "bavures" à corriger, ce dont je le remercie vivement. En dehors de ces détails, et de quelques autres, cette édition reprend la précédente, avec deux différences très visibles. La première est l'élimination du Survol du langage fractal, un "supplément" dont le but était de donner une idée des progrès de la théorie et des utilisations des fractales de 1975 à 1989. Signe de bonne santé, ce Survol a vite vieilli. Quand j'ai voulu le mettre à jour, il a, si l'on ose dire, éclaté. À sa place, un recueil séparé, à paraître, combinera une nouvelle édition du Survol avec divers autres textes: des inédits et des réimpressions plus ou moins retravaillées. La deuxième différence concerne la bibliographie, qui a été enrichie de deux sortes de références parues après 1975: tous les livres sur les fractales dont j'ai connaissance, et mes propres travaux. J'ai d'abord songé à éliminer ce qui concernait uniquement le Survol disparu, mais j'ai vite renoncé, laissant ainsi en place des références sans objet..., mais non sans intérêt. Pour la petite histoire, racontons que la première édition, parue il y a vingt ans, fut le premier livre que Flammarion ait réalisé par offset à partir d'une maquette que l'auteur avait préparée par traitement de texte. Janvier 1995 Benoît Mandelbrot Yale University, New Haven CT 06520-8283 USA IBM, Yorktown Heights NY 10598-0218 USA PRÉFACE À LA TROISIÈME ÉDITION (EXTRAIT) C'est à M. Roberto Pignoni que l'éditeur Giulio Einaudi de Turin a confié la traduction italienne de mes Objets fractals. Le jeune mathématicien de Milan a mis à son travail un soin qui a démontré que le mieux éprouvé des dictons italiens souffre des exceptions, et qu'il n'est pas impossible qu'un traducteur soit, pour l'auteur, le meilleur des amis. Son attention aux détails de style a, en effet, beaucoup aidé à préparer cette nouvelle édition. Cependant, la pagination reste pratiquement inchangée. Au moment où j'écris ces lignes, un thème à l'ordre du jour parmi les "fractalistes" est celui des "multifractales". Le chapitre IX montre que je l'étudiais dès avant 1975. Il a fallu dix ans pour que ce sujet "démarre". Mais il a bien démarré: là comme partout ailleurs dans l'étude des fractales, des progrès énormes ont été faits depuis treize ans. Deux points de présentation doivent être signalés. Pour éviter qu'elles n'interrompent la continuité du texte, les figures sont regroupées aux fins des chapitres. Pour être faciles à retrouver, elles sont dénotées par les numéros des pages qui les portent. Un nom d'auteur suivi d'une date, comme Dupont 1979, renvoie à la bibliographie à la fin du volume. S'il le faut, l'année est suivie d'une lettre. Printemps 1989 Benoît Mandelbrot 2 PRÉFACE À LA DEUXIÈME ÉDITION (EXTRAIT) En remettant cet ouvrage sur l'établi, j'ai constaté qu'il avait peu de rides. Il a vite traversé l'âge ingrat où l'on est de moins en moins à la mode, pour atteindre un âge où la mode cesse d'être importante. C'est de moins en moins un traité, mais (folle ambition) c'est une nouvelle synthèse mathématique et philosophique et aussi une collection de micro-monographies concernant mes découvertes dans divers chapitres de la science. Il s'adresse en même temps à des publics disparates et prétend conduire des spécialistes de diverses sciences à rêver et créer avec moi. J'ai allégé le texte de nombreux fragments devenus inutiles, par exemple, du fait que diverses conjectures mathématiques émises en 1975 sont désormais démontrées. Le style a été adouci, les illustrations ont été rafraîchies et un lexique de néologismes a été ajouté. L'ancien chapitre XIII est devenu chapitre XVI. Pour conserver le ton d'un manifeste écrit en 1975, les rares additions prennent la forme de brefs post-scriptum. Quelques termes pesants, comme rognure et promenade aléatoire, ont été remplacés par des termes que j'ai introduits depuis 1975: tréma et randonnée. Enfin, pour éviter des malentendus fâcheux, pas mal de on et de nous, discrets mais ambigus, ont été remplacés par des je directs et clairs. Mars 1984 3 Benoit Mandelbrot CHAPITRE PREMIER Introduction Dans le présent essai, des objets naturels très divers, dont beaucoup sont fort familiers, tels la Terre, le Ciel et l'Océan, sont étudiés à l'aide d'une large famille d'objets géométriques, jusqu'à présent jugés ésotériques et inutilisables, mais dont j'espère montrer tout au contraire qu'ils méritent, de par la simplicité, la diversité et l'étendue extraordinaires de leurs nouvelles applications, d'être bientôt intégrés à la géométrie élémentaire. Bien que leur étude appartienne à des sciences différentes, entre autres la géomorphologie, l'astronomie et la théorie de la turbulence, les objets naturels en question ont en commun d'être de forme extrêmement irrégulière ou interrompue. Pour les étudier, j'ai conçu, mis au point et largement utilisé une nouvelle géométrie de la nature. La notion qui lui sert de fil conducteur sera désignée par l'un de deux néologismes synonymes, "objet fractal" et "fractale", termes que je viens de former, pour les besoins de ce livre, à partir de l'adjectif latin fractus, qui signifie "irrégulier ou brisé". Faut-il définir une figure fractale de façon rigoureuse, pour dire ensuite, d'un objet réel, qu'il est fractal s'il en est de même de la figure géométrique qui en constitue le modèle? Pensant qu'un tel formalisme serait prématuré, j'ai adopté une méthode toute différente: basée sur une caractérisation ouverte et intuitive et procédant par touches successives. 6 Le sous-titre souligne que mon but initial est de décrire, du dehors, la forme de divers objets. Cependant, dès que cette première phase réussit, la priorité passe aussitôt de la description à l'explication: de la géométrie à la dynamique, à la physique, et au-delà. Le sous-titre indique aussi que, pour engendrer l'irrégularité fractale, j'utilise des constructions que domine le hasard. Enfin, le sous-titre annonce qu'une des caractéristiques principales de tout objet fractal est sa dimension fractale, qui sera dénotée par D. Elle mesure son degré d'irrégularité et de brisure. Fait très important: contrairement aux nombres de dimensions habituels, la dimension fractale peut très bien être une fraction simple, telle que 1/2 ou 5/3, et même un nombre irrationnel, tel que log 4/ log 3 — 1,2618 . . . ou Tr . Ainsi, il est utile de dire de certaines courbes planes très irrégulières que leur dimension fractale est entre 1 et 2, de dire de certaines surfaces très féuilletées et pleines de convolutions que leur dimension fractale est intermédiaire entre 2 et 3, et enfin de définir des poussières sur la ligne dont la dimension fractale est entre 0 et 1. Dans certains ouvrages mathématiques, diverses figures connues que j'incorpore parmi les fractales sont dites "de dimension fractionnaire", mais ce terme est fâcheux car il n'est pas d'usage, par exemple, de qualifier ri- de fraction. Chose plus importante, il y a parmi les fractales maints objets irréguliers ou brisés, qui satisfont à D = 1 ou à D = 2, mais ne ressemblent en aucune façon ni à des droites ni à des plans. Le terme "fractal" élimine ces difficultés associées au terme "fractionnaire". Afin de suggérer quels objets doivent être considérés comme fractals, commençons donc par nous souvenir que, dans son effort pour décrire le monde, la science procède par des séries d'images ou modèles de plus en plus "réalistes". Les plus simples sont des continus parfaitement homogènes, tels un fil ou un cosmos de densité uniforme, ou un fluide de température, densité, pression et vitesse également uniformes. La physique a pu triompher en identifiant de nombreux domaines où de 7 telles images sont extrêmement utiles, en particulier comme points de départ de divers termes correctifs. Mais dans d'autres domaines la réalité se révèle être si irrégulière, que le modèle continu parfaitement homogène déçoit, et qu'il ne peut même pas servir comme première approximation. Ce sont des domaines où la physique a échoué, et dont les physiciens préfèrent ne jamais parler. (P.-S. Ceci était vrai en 1975, mais c'est de moins en moins vrai aujourd'hui.) Pour présenter ces domaines, et pour donner en même uploads/s3/ benoit-mandelbrot-les-objets-fractals-forme-hasard-et-dimension-survol-du-langage-fractal-4e-edition-flammarion-1999.pdf