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Un génie des Bibliothèque Tcin Tangente Hors-série n° 29 leonhard Euler un géni

Un génie des Bibliothèque Tcin Tangente Hors-série n° 29 leonhard Euler un génie des lumières Sous la direction d'Hervé Lehning • POLE © Éditions POLE - Paris 2007 e Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielJe, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation préalable est illicite, et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf.: Loi du 11 mars 1957. I.S.B.N. 978284840666 I.S.S.N. 0987-0806 Commission paritaire 1006 K 80883 Euler Sommaire l •X•t-}1 i =t ;I Euler dans son époque Leonhard Euler est l'un des plus grands mathémati- ciens de tous les temps. Sa renommée s'étendait dans toute l'Europe. Homme des Lumières, il correspondit avec la plupart des scientifiques de son époque et sa façon de poser et de résoudre les problèmes marqua le style de son temps. Leonhard Euler (1707 - 1783) Euler et la musique Euler physicien Euler, « blogueur » infatigable Les lettres à une princesse d'Allemagne Un nouveau style Sur les pas d'Euler à Saint-Pétersbourg Le mathématicien dévot et le libre penseur l •X•t-}1 i =t ;I le mathématicien éclectique Euler a posé et résolu une multitude de problèmes, et c'était aussi un grand découvreur de mathématiques. Ses travaux touchent l'analyse, l'arithmétique, la com- binatoire, l'algèbre, la géométrie ... Doté d'une grande intuition, il ne s'embarrassait pas toujours de vérifica- tions rigoureuses : un calcul donnant des résultats conformes à l'expérience était considéré comme légiti- me! Leonhard Euler,père de la combinatoire contemporaine Un cercle de mathématiciens La formule d'Euler Géométrie du triangle : un joyau eulérien Euler et la règle des signes Equation normale d'une droite Développements eulériens Les angles d'Euler La constante d'Euler Hors série n° La méthode d'Euler Les nombres de Mersenne Les briques d'Euler Le problème des quatre carrés L'indicatrice d'Euler et la cryptographie La notion de fonction chez Euler DOSSIER le précurseur Le génie d'Euler a notamment consisté à prolonger des concepts mathématiques existants (il étendit par exemple l'exponentielle aux nombres complexes) ou à proposer de nouvelles méthodes de calcul ou de résolu- tion de problèmes connus. Ses travaux furent parfois l'amorce de théories développées bien après lui. La formule magique des polyèdres Comment Euler calculait t(2) Probabilité arithmétique et t(2) L'extension de l'exponentielle Les équations différentielles linéaires Euler et la fonction gamma Le calcul des variations Euler et les séries de Goldbach La formule d'Euler-MacLaurin Les nombres chez Euler Fermat par Euler : intuition ou chance ? l •X•t-ii i a ,1 Les erreurs d'Euler les jeux et les problèmes de Leonhard Euler Dans l'élaboration de son œuvre titanesque, la grand Euler n'a jamais négligé l'aspect ludique des mathéma- tiques. Jeux, énigmes, problèmes amusants sont à l'origi- ne de certaines de ses théories. Découvrons les problèmes ludiques les plus célèbres d'Euler : celui des ponts de Konigsberg, qui inaugure la théorie des graphes, celui de la marche du cavalier sur l'échiquier, celui des rencontres, lié à la combinatoire, ou encore celui des 36 officiers ... La fibre ludique du grand Euler Hasards, rencontres ou coïncidences Le parcours du cavalier sur l'échiquier En bref Bibliographie Jeux et Problèmes Solutions Tangente Hors-série n°29. Euler par Alain Zalmanski EN BREF mais qu'est-ce qui a écha é a Euler? (11 Le nom d'Euler est partout ! Formule, théorème, conjecture, constante, fonction, relation, droite, cercle, ... une foule d'objets mathéma- tiques sont, légitimement ou non, associés à ce grand mathématicien. Les nombres d'Euler sont une suite de nombres entiers positifs définis par le dé,eloppement en série de Ta~lor suirnnt : X, x" = '- E COS X ,,-;'11 11 Il ! Les nombres d'Euler de rangs impairs sont nuls. Les premiers nombn•s d 0 Euler de rangs pairs sont I. I. 5. 61. 1385. 50521... Cercle d'Euler : cercle qui, dans un triangle, passe par chacun des milieux des trois côtés du triangle, par le pied de chacune des trois hauteurs du triangle, par le milieu de chacun 10 Il 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 E,, 1 5 61 1385 50521 2702765 199360981 19391512145 240487%75441 37037 11 88237525 69348874393137525 155 14534163557086905 408707250929312389236 I l 25225%4 l 403629865468285 44154389324902310455368282 I l 775 l 939 l 57953928943666478%65 80723299235887898062 l 6824 7453281 4 l 22206033951770212234707%7 l 259045 23489580527043 1 082520 l 782857619894774 I 14851 1 507 1811 49800 1787715678 1 405826684425 1 03646227335 1%121 19397957304745 1 85976310201 79475794225975927036080405 1 00880706195 l 9273805 23 66675375 l 66855449774350284747737481 97524107684661 24 6096278645568542 l 5869 l 685742876843 153976539044435 J 85 25 6053285248 1886218963 14383785 l 11649088 103498225 1468 15 12 1 des trois segments reliant l'orthocentre à un som- met du triangle. Le centre du cercle d'Euler est situé au milieu du segment formé par l'or- thocentre et le centre du cercle circons- crit. A Droite d'Euler: dans un triangle, droite pas- sant par 1 'orthocentre, le centre du cercle circ:onscrit, le centre de gra- vité et le centre du cercle d'Euler œ œ t.rianJle. B Pseudo-premier d'Euler de base a : se dit d'un nombre impair composé n, lorsque a et n sont premiers entre eux, et a (n - l)/2 • :±: 1 (n) Constante d' Euler-Mascheroni : limite de la différence entre la somme partielle de la série harmonique et le logarithme naturel . 1 1 1 1 y= lim (1 + - + - + - + ... + - - ln(n)) 11- +x 2 3 4 11 Euler détennina les 16 premières décimales de cette constante : y= 0,5772 15664901 5328 ... Relation d'Euler Soit un polyèdre de genre 0, de ffaces, a arêtes, ssommets On peut démontrer qu'on a toujours : f+s - a=2 Cette relation trouve des contre-exemples pour des polyèdres non convexes. À SUIVRE QQ. 29 et 91 Hors-série n° 29. Euler Tangente par M. Criton & H. Lenning les langues d'Euler Les œuvres d'Euler ont été écrites en trois langues : l'alle- mand, la latin et le français. La langue maternelle d'Euler était l'allemand, mais il est né à Bâle (Basel en allemand), ville de Suisse située près d'une région francophone (aujourd'hui Dreilandereck en allemand, ou district des trois frontières en français). Il a donc appris le français très tôt. Si Euler a utilisé le latin, c'est que cette langue était alors encore la « langue savante», c'est-à-dire la langue universelle qu'utilisaient les scientifiques européens pour communiquer entre eux. C'est donc en latin que la plus grande partie de l'œuvre d'Euler a été écrite et publiée. Si le latin était la langue des savants de l'époque, le français était la langue «mondaine», c'est-à-dire la langue qu'il était de bon ton d'utiliser dans les cours royales européennes. C'était le cas à la cour de l'impératrice Catherine Il de Russie (qui avait été élevée par une nourrice française) où Euler vécut de 1727 à 17 41 , puis de 1766 à sa mort. Il en était de même à Berlin, à la cour de Frédéric le Grand, roi de Prusse, auprès de qui Euler séjourna de 1741 à 1766. C'est ainsi qu'il écrivit les Lettres à une Princesse d'Allemagne en français, ces lettres étant en fait des leçons particulières données à la princesse Sophie Friederika Charlotte von Brandenbourg-Schwedt, cou- sine de Frédéric de Prusse, alors âgée de 15 à 17 ans. Vers la fin de sa vie, le latin devenait de moins en moins utilisé comme langue savante. Par ailleurs, Euler, devenu aveugle, est contraint de dicter ses textes à son fils ou à un valet. C'est pourquoi un certain nombre de ses textes seront alors écrits en allemand. Euler pratiquait aussi le russe qu'il a eu le loisir d'apprendre pendant les 33 ans passés à Saint-Petersbourg. Il connaissait également suffi- samment l'anglais pour tra- duire en allemand par exemple un ouvrage de Rabbins sur l'artillerie. Co d • h . li d' F ..:.• • b+x ' c-10 160, mmo C ct1am UJU mo I U01.AIOD1$ t .:!: t Fadorcs invcniri omnefque afJignari poaimt. Tranfmutatur enim , b+x i C - X j m banc formam ( 1 + - r- ) + ( 1 +--r- ) , qua: comparata cum forma i + ::/, Fadorcm· habcbit 11~-2a .,ef."' . .,,. + "-.Z., - ' Extrait d'/ntroductio in ana/ysin infinitorum Endlich ist die Abscisse des Punktes S, der durch die gleich- zeitige Aenderung von t und u ans P entsteht, EW = a: + die (~ ~ ) +dt ( !~) Extrait de Drei Abhandungen über Kartenprojection Il S11rnil même possible que l'espace C r,lt t.oul enlier dans l'cs- y_ ace A, comme f fi.q . 88}; ou loul enlier hors de l'espace A, comme \fi'). 89}, quoi,1uï l soil loul enlier hors de B. Flf . 88. .. ,,. 911. Extrait de Lettres à une princesse d'Allemagne Tangente Hors-série n°29. Euler PORTRAIT par Alain Zalmanski Leonhard Euler (1707-1783) Il est le plus illustre mathématicien du XVIII e siècle. Ses contributions touchent l'analyse, la géométrie, l'arithmétique, le calcul des probabilités et s'étendent même au delà des mathématiques. • • Euler a eu une grande influence sur l 'alge'brisation de l 'arithmétiijue, donné sa forme actuelle au uploads/s3/ herv-lehning-collectif-leonhard-euler-un-g.pdf