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Probabilités Pr. François Kohler kohler@medecine.uhp-nancy.fr Expérience aléato

Probabilités Pr. François Kohler kohler@medecine.uhp-nancy.fr Expérience aléatoire, événement aléatoire • Une expérience est dite aléatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas en prévoir exactement les résultats du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés. • Un événement aléatoire est un événement qui peut ou ne pas se réaliser au cours d'une expérience aléatoire. • Exemple : expérience aléatoire "traverser la route" - événement aléatoire "se faire écraser". Définition classique • Si m résultats peuvent se produire avec des chances égales et si k résultats correspondent à la réalisation de l'événement, la probabilité de l'événement est le rapport k/m : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles. • Par exemple, dans un jeu de 52 cartes, on a 13 coeurs, si toutes les cartes ont des chances égales d'être tirées, la probabilité d'extraire un cœur est 13/52 = 0,25 Définition fréquentielle • Si une expérience a été répétée un grand nombre de fois dans des conditions uniformes, on constate généralement que la fréquence relative (% de réalisation) d'un événement (fi) se stabilise. • Ce phénomène est connu sous le nom de régularité statistique. • Ce nombre fixe est par définition la probabilité mathématique de l'événement considéré. Définition fréquentielle • La probabilité ainsi définie est une forme idéalisée de la fréquence relative. • Une estimation pragmatique de la probabilité d’un événement est fournie par la fréquence relative, la précision de cette estimation peut être fournie par son intervalle de confiance pour un risque donné. • Dans de nombreux cas, la probabilité peut être modélisée par une loi. Expérience, événement, propositions, logique… • Evénement : toute proposition logique associée aux résultats de l’expérience. • Représentation ensembliste : – Diagramme de Venn S ensemble des événements possibles A sous-ensemble de S B sous-ensemble de S …. Evénements exclusifs • Les événements A et B ne peuvent se produire simultanément. Pour tous couples (A,B) l'ensemble A* B est vide. – Exemple : extraire un cœur ou un carreau. • Si 2 événements sont exhaustifs et mutuellement exclusifs (mort-vivant) – La non-réalisation de l’un implique la réalisation de l’autre. Evénements non exclusifs • Les événements peuvent se produire simultanément . • L’intersection n’est pas vide. • Exemple : • Extraire une dame et un carreau • Avoir un diabète et rouler avec des pneus lisses. • Avoir un diabète et une angine. • Ne pas confondre événements exclusifs et événements indépendants. Opérateurs logiques • On note Vrai 1, Faux 0. A B A ou B; A U B; A+B A et B; AB; A*B Non(A) Non(B) Non(AouB) Non(AetB) Non(A) et Non(B) Non(A) ou Non(B) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Rappel de logique A B A et B A ou B Non(A) Non(B) Non(A ou B) Non(A et B) Rappels de logique • Théorèmes de De Morgan – Non(A et B) = Non(A) ou Non(B) – Non(A ou B) = Non(A) et Non(B) • La plupart des problèmes de probabilités n’ont comme difficulté que l’interprétation logique de l’énoncé. Axiomes élémentaires • 0 < P(A) < 1 : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. • P(A) = 1 : L’événement est toujours réalisé. • P(A) = 0 : L’événement est impossible. • Si 2 événements sont exclusifs : – P(A ou B) = P(A + B) = P(A U B) = P(A) + P(B) • Exemple : Probabilité d'extraire un cœur ou un carreau = P(Cœur ou Carreau) = 0,25 + 0,25 = 0,5. – Généralisation P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C). – Si 2 événements sont mutuellement exclusifs (mort-vivant) et constituent l’ensemble des possibles : • on a P(A)+P(B) = 1 => P(A) = 1-P(B). – La probabilité de survie à un moment donné est égale à 1 moins la probabilité de décéder à ce moment. Evénements non exclusifs • Les événements peuvent se produire simultanément. Exemples : « avoir un infarctus du myocarde », « être diabétique ». • P(A ou B) = P(B ou A) = P(A) + P(B) - P(A et B) • Ceci se déduit des relations : – P(A ou B) = P(A sans B) + P(B sans A) + P(A et B) – P(A sans B) = P(A) - P(A et B) – P(B sans A) = P(B) - P(A et B) • En conclusion : – P(A ou B) < P(A) + P(B) – P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A et B) - P(B et C) - P(A et C) + P(A et B et C) Probabilités conditionnelles et indépendance • En médecine, l’utilisation des probabilités conditionnelles est fréquente et apparaît naturelle. – On dira que « un individu a 5 fois plus de chances de développer une maladie coronarienne s’il fume un paquet de tabac par jour que si il ne fume pas »… • La connaissance n’est pas figée : avant la réalisation d’un test, la probabilité d’une maladie est p. Que devient-elle si on sait que le test est positif ? Probabilité conditionnelle • Soit deux événements non exclusifs A et B : – On regarde la probabilité que l’un se réalise alors que l’autre est déjà réalisé. • On note P(A/B) la probabilité de A si B est réalisé, l’inversement du conditionnement P(B/A) est la probabilité de B si A est réalisé. • Quelle est la probabilité d’avoir une douleur de la fosse illiaque droite alors que l’on a une appendicite ? • Quelle est la probabilité d’avoir une appendicite alors que j’observe une douleur dans la fosse iliaque droite ? Probabilité conditionnelle ) ( * ) / ( ) ( * ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( A P A B P B P B A P A B P B A P B P B A P B A P        • Eléments de base : • Indépendance : – Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre. • Exemple : Pluie, rouler avec des pneus lisses : a priori indépendant; pluie, avoir un accident a priori non indépendant. Indépendance • P(A/B) = P(AB)/P(B) = P(A) => P(AB) = P(A)*P(B) • Si et seulement si deux événements sont indépendants alors P(A et B) = P(A) * P(B) Inversion du conditionnement • Intérêt : évaluation des examens complémentaires. • Théorème de Bayes : )] ( 1 [ * )] / ( 1 [ ) ( * ) / ( ) ( ) ( * ) / ( ) ( * ) / ( ) ( ) / ( 1 ) / ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( * ) / ( ) ( ) ( ) / ( ) ( * ) / ( ) ( ) ( ) ( ) / ( B P B Non A Non P B P B A P A P B Non P B Non A P B P B A P A P B Non A Non P B Non A P B P B Non P A P B P B A P A P B A P A B P B P B A P B A P B P B A P B A P                   B Non B A Non A A Non A P(A/B) P(B) P(A)/nonB) Le tableau à 4 cases • En médecine, 2 tableaux à 4 cases sont très utilisés et renvoient au conditionnement. – Evaluation des signes et examens complémentaires. – Recherche de facteurs de risque. Maladie + Maladie - Total Test + A (VP) B (FP) T+=A+B=VP+FP Test - C (FN) D (VN) T-=C+D=FN+VN Total M+ = A+C = VP+FN M-=B+D=FP+VN n Maladie + Maladie - Total Exposés A B E+=A+B Non exposés C D E-=C+D M+ = A+C M- = B+D A+B+C+D P(T+/M+); P(T-/M-); P(M+/T+); P(M-/T-) P(M+/E+); P(M+/E-); P(E+/M+);P(E-/M-) Les arbres de décision • Un homme se présente aux urgences. Quelle est la probabilité qu’il ait une sténose coronarienne ? ( Coro+) = P (EE+  Coro+) + P (EE-  Coro+) = 0,8*0,6 + 0,4*0,3 = 0,48 + 0,12 = 0,60 Evaluation des examens complémentaires • Il n’existe pas de signe ou d’examen parfait qui serait toujours présent en cas de présence de la maladie et absent en cas d’absence de la maladie. Maladie + Maladie - Total Test + A (VP) B (FP) T+=A+B=VP+FP Test - C (FN) D (VN) T-=C+D=FN+VN Total M+ = A+C = VP+FN M- =B+D=FP+VN N=A+B+C+D Fréquence de la maladie = Prévalence=P(M+) = (VP+FN)/N Sensibilité = P(T+/M+) = VP/(VP+FN) Spécificité = P(T-/M-)= VN/(VN+FP) VPP = P(M+/T+) = VP/(VP+FP) VPN = P(M-/T-) = VN/(VN+FN) Evaluation des examens uploads/s3/ probab-i-lite.pdf