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HAUTE ECOLE DE COMMERCE ET DE MANAGEMENT (HECM) Enseignants : LOKOSSOU Durand I

HAUTE ECOLE DE COMMERCE ET DE MANAGEMENT (HECM) Enseignants : LOKOSSOU Durand Ingénieur Statisticien Economiste +229 96867286 Email : durandlokossou@gmail.com STATISTIQUE PROBABILITE 2 LOKOSSOU Amédé Sègon Durand 96 86 72 86 Ingénieur Statisticien Economiste CHAPITRE 1 : INTRODUCTION AU CALCUL DES PROBABILITES Thèmes ▪ Analyse combinatoire ▪ Algèbre des évènements ▪ Probabilités totales ▪ Probabilités conditionnelles ▪ Théorème de Bayes Les jeux de hasard constituèrent le cadre initial des probabilités. Aujourd’hui, ils ne sont que l’une des représentations possibles des interrogations probabilistes. L’exposé « intuitif » s’est enrichi d’une théorie axiomatique à laquelle le langage des ensembles apporte une représentation qui en facilite l’assimilation. L’analyse de ces deux aspects du calcul des probabilités sera précédée de l’examen des méthodes de dénombrement. 1.1. L’analyse combinatoire L’analyse combinatoire permet de recenser les dispositions qu’il est possible de former à partir d’un ensemble donné d’éléments. La distinction entre ces dispositions se fonde sur la notion d’ordre. Deux ou plusieurs dispositions comportant les mêmes éléments sont différents s’il s’agit de dispositions non ordonnées. Exemple : (x,y) et (y,x) sont différentes s’il s’agit de dispositions ordonnées, et identiques dans le cas contraire. 1.1.1 Permutations Une permutation de n éléments est une disposition ordonnée de ces n éléments. Considérons 4 personnes qui prennent place successivement sur un banc à 4 places. Combien de dispositions ordonnées (c'est-à-dire de permutations) existe-t-il ? 3 LOKOSSOU Amédé Sègon Durand 96 86 72 86 Ingénieur Statisticien Economiste Le nombre de dispositions ordonnées (ou permutations) est donc : D’une manière générale, le nombre de permutations de n éléments, noté Pn, est donné par la relation : ! 1 2 3 )... 2 )( 1 ( n n n n Pn =   − − = Remarques ▪ ! n se lit “factorielle n” ▪ par convention 1 ! 0 = Exemple : Calculer le nombre de permutations qu’il est possible de former avec les éléments : a, b, c. Détermination du nombre de permutations avec l’expression de Pn: 6 1 2 3 ! 3 3 =   = = P Détermination du nombre de permutation au moyen d’un arbre Chaque chemin correspond à une permutation. Les six permutations obtenues sont : 4 LOKOSSOU Amédé Sègon Durand 96 86 72 86 Ingénieur Statisticien Economiste 1.1.2. Arrangements Un arrangement est une disposition ordonnée de p éléments choisis parmi n éléments. Exemple : Considérons sept personnes qui sont candidates pour occuper 3 postes. De combien de façons différentes peut-on pouvoir ces 3 postes ? D’une manière générale, le nombre d’arrangements de p éléments choisis parmi n, noté ) 1 )...( 2 )( 1 ( + − − − = p n n n n A p n Cette expression peut aussi s’écrire : )! ( ! 1 2 3 )... 1 )( ( 1 2 3 )... 1 )( )( 1 )...( 2 )( 1 ( p n n p n p n p n p n p n n n n A p n − =   − − −   − − − + − − − = )! ( ! p n n A p n − = Exemple : Combien de tiercés peut-on former si une course comporte 12 chevaux ? 5 LOKOSSOU Amédé Sègon Durand 96 86 72 86 Ingénieur Statisticien Economiste Remarque Dans le cas particulier ou p n = , l’expression générale devient : ! 1 ! ! 0 ! )! ( ! n n n n n n A n n = = = − = 1.1.3. Combinaisons Une combinaison est une disposition non ordonnée de p éléments choisis parmi n éléments. Exemple : Soit 10 personnes volontaires pour jouer au bridge. Combien d’équipes de 4 personnes peut-on constituer ? Deux équipes sont différentes si elles diffèrent par leur composition ; l’ordre n’intervient pas. D’une façon générale, le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n, noté C p n )! ( ! ! p n p n C p n − = Exemple : Au bridge, une « main » est constituée de 13 cartes placées dans un ordre quelconque. Calculez le nombre de « mains » distinctes susceptibles d’être formées à partir d’un jeu de 52 cartes : 6 LOKOSSOU Amédé Sègon Durand 96 86 72 86 Ingénieur Statisticien Economiste Remarque L’utilisation de la fonction factorielle est parfois difficile en raison de l’importance des calculs qu’elle implique. Il est possible d’opérer une simplification en recourant à la formule de Stirling. Si n>10, une valeur approximée de ! n peut être obtenue à partir de: n e n n n . 2 !         Avec 71828 , 2 = e 1.1.3.1. Propriétés des combinaisons Le nombre de combinaison obtenues est identique, que l’on prenne p éléments parmi n ou ) ( p n − parmi les n mêmes éléments :   où d p n p n p n p n n n C p n n ' )! ( ! ! )! ( ! ) ( ! − = − − − = − p n n p n C C − = La combinaison de n élements choisis parmi n élements distincts s’écrit : ! ! 0 ! n n C n n Avec 1 ! 0 = D’où: 1 = n n C Soit 1 1 − − p n C , le nombre de combinaisons de ) 1 ( − p éléments choisis parmi ) 1 ( − n éléments. 1 1 − − p n C s’écrit : )! 1 ( )! ( )! 1 ( 1 1 − − − = − − p p n n C p n Considérons également le nombre de combinaisons p obtenues à partir de ) 1 ( − n éléments :  ! ! ) 1 ( )! 1 ( 1 p p n n C p n − − − = − Formons à présent la somme de p n C 1 −et 1 1 − − p n C : ( ) ( ) ( ) ( )( )! 1 ! ! 1 ! ! 1 ! 1 1 1 1 − − − + − − − = + − − − p p n n p p n n C C p n p n En multipliant le premier terme du membre de droite par ( )   p n n − − / ) 1 ( et le second par   p p/ il vient : 7 LOKOSSOU Amédé Sègon Durand 96 86 72 86 Ingénieur Statisticien Economiste ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! ! ! ! 1 ! ! ! 1 ! ! ! 1 ! ! ! 1 1 1 1 p p n n p p n n n p p n p p n n p p n p n p p n p n n C C p n p n − = − − = − + − − = − − + − − − = + − − − Le membre de droite correspond à la définition p n C : ( ) ! ! ! p p n n C p n − = Donc : 1 1 1 − − −+ = p n p n p n C C C 1.1.3.2. Triangle de Pascal Le triangle de Pascal fournit les valeurs prises par l’expression précédente en fonction de celles de p et n : Remarques • Les flèches surmontées du signe + indiquent le moyen le plus simple d’obtenir l’ensemble des valeurs à partir de celles déterminées précédemment. • L’amorce du calcul des valeurs de ce triangle se fonde sur la convention . 1 ! 0 = En effet : ! 0 ! ! 0 n n Cn = avec 1 1 ! 0 0 =  = Cn 8 LOKOSSOU Amédé Sègon Durand 96 86 72 86 Ingénieur Statisticien Economiste Ce résultat est à l’origine des valeurs de la première colonne du triangle. C’est à partir de celle-ci que seront déterminées les valeurs des colonnes suivantes. Exemple : 6 2 4 = C ; ... 10 3 5 = C 1.1.3.3. Développement binomial Le triangle de indique les coefficients des développements du binôme de Newton. Développons l’expression ( ) : 2 p q + ( ) 2 2 2 2 p qp q p q + + = + Le Développement obtenu s’écrit également : ( ) 2 2 2 1 2 1 p qp q p q  +  +  = + Les coefficients 1, 2 et 1correspondent aux valeurs données à la troisième ligne du triangle. Il s’agit des valeurs respectives : C 0 2 , C 1 2 , et C 2 2 . L’expression développée de ( ) 2 p q + peut d’écrire donc : ( ) 2 2 2 1 2 2 0 2 2 p uploads/s3/ support-de-cours-de-statistique-probabilite.pdf