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conjgrad Optimisation num ?erique M ?ethodes du gradient conjugu ?e lin ?eaire Chapitre Daniel KAUTH Universit ?e de Fribourg le novembre CTable des mati eres La m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire Introduction Quel est le probleme a r ?esoudre M

Optimisation num ?erique M ?ethodes du gradient conjugu ?e lin ?eaire Chapitre Daniel KAUTH Universit ?e de Fribourg le novembre CTable des mati eres La m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire Introduction Quel est le probleme a r ?esoudre M ?ethode des directions conjugu ?ees Propri ?et ?es de base de la m ?ethode du gradient conjugu ?e Une forme plus pratique de la m ?ethode du gradient conjugu ?e La vitesse de convergence Pr ?econditionnement Pr ?econditionneurs pratiques CChapitre La m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire Introduction La m ?ethode pr ?esent ?ee dans ce seminaire est celle du gradient conjugu ?e Il ne s ? agit non seulement d ? une des techniques les plus utiles pour r ?esoudre de grands systemes lin ?eaires mais elle peut m eme etre adapt ?ee de telle maniere a ce qu ? elle r ?esoud des problemes d ? optimisation non-lin ?eaires Ces deux variantes reposant sur la m eme id ?ee de base sont respectivement appel ?ees m ?ethodes du gradient conjugu ?e lin ?eaire et non-lin ?eaire La m ?ethode analys ?ee ci dessous est celle trouv ?ee dans les ann ?ees par Hestens et Stiefel asavoir la m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire Cette derniere se base sur la recherche de directions successives permettant d ? atteindre la solution exacte d ? un systeme lin ?eaire de matrice sym ?etrique et d ?e ?nie positive et repr ?esente une alternative a l ? algorithme d ? ?elimination de Gauss Elle est m eme souvent pr ?ef ?er ?ee acette derniere lorsque les systemes d ? ?equations sont grands Dans la suite nous allons rencontrer l ? e ?et d ? am ?elioration provoqu ?e par le pr ?econditionnement du systeme lin ?eaire ainsi qu ? un grand nombre d ? autres propri ?et ?es int ?eressantes de cette m ?ethode Quel est le problemea r ?esoudre La m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire est une m ?ethode qui r ?esoud deux problemes ?equivalents poss ?edant la m eme solution unique Ces problemes sont le syst eme d ? ?equations lin ?eaires Ax b et le probl eme de minimisation suivant x xT Ax ?? bT x Dans ces deux problemes A est une matrice n ? n sym ?etrique et d ?e ?nie positive Pour la bonne compr ?ehension de la suite de ce seminaire notons encore que le gradient de est ?egal au r ?esidu du systeme lin ?eaire ?? x Ax ?? b r x CCHAPITRE LA ME ?THODE DU GRADIENT CONJUGUE ? LINE ?AIRE M ?ethode des directions conjugu ?ees Une des multiples propri ?et ?es int ?eressantes de la m ?ethode du gradient conjugu ?e est la cr ?eation ?economique d ? une suite de vecteurs pk k ??N de n vecteurs A-conjugu ?es avec A une matrice sym ?etrique d ?e ?nie positive L ? ensemble de ces vecteurs non-nuls de Rn p p pn