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L2 MAI MAP24x TP 10 : Corrig´ e des travaux pratiques surveill´ es Exercice 1 (

L2 MAI MAP24x TP 10 : Corrig´ e des travaux pratiques surveill´ es Exercice 1 (Th´ eor` eme du point ﬁxe) 3. Je trouve y1 = 1.165827 x1 = 1.1666667 n1 = 3. Le dernier chiﬀre d´ epend de la mani` ere dont vous avez cliqu´ e sur la souris. Une approximation est donc x = 1.165. 4. Par exemple la fonction d´ eﬁnie par function res = iter(f,u0,n) res = u0; for i=1:n res = f(res); end; endfunction convient. 5. La fonction s’´ ecrit function res=f(x) res=atan(2*x); endfunction 6. Apr` es avoir eﬀectu´ e -->getf f.sci -->getf iter.sci On tape successivement -->u5=iter(f,1,5) u5 = 1.1649806 -->u10=iter(f,1,10) u10 = 1.1655595 -->u20=iter(f,1,20) u20 = 1.1655612 -->f(u20)-u20 ans = 9.785D-12 On constate que u20 est solution de l’´ equation f(x) = x ` a 10−11 pr` es. 7. La modiﬁcation de la proc´ edure de dichotomie donne L2 MAI MAP24x function res=ndicho(f,a,b,n) for i=1:n m = (a+b)/2; if (f(m)*f(a)<0) then b=m; else a=m; end; end res =(a+b)/2; endfunction 8. La fonction x −f(x) s’impl´ emente comme suit : function res=xmf(x) res=x-atan(2*x); endfunction 9. On tape successivement : -->getf ndicho.sci -->getf xmf.sci -->v20=ndicho(xmf,1,2,20) v20 = 1.1655612 -->f(v20)-v20 ans = - 9.635D-09 10. On constate qu’` a nombre d’it´ eration ´ egales, la premi` ere m´ ethode donne un r´ esultat plus pr´ ecis que la m´ ethode de dichotomie. Exercice 2 (M´ ethode de la s´ ecante) 0. La droite ∆u a pour coeﬃcient directeur f(b) −f(u) b −u et passe en y = f(u) en x = u. L’´ equation de la droite est donc y = f(b) −f(u) b −u (x −u) + f(u) Elle coupe l’axe des x lorsque y = 0 ce qui donne x1 = u − b −u f(b) −f(u)f(u) 1. La fonction s’´ ecrit donc function res=secante(g,a,b,n) u=a for i=1:n y=g(u); u=u-(b-u)/(g(b)-y)*y; end res=u; endfunction; 2. On tape successivement -->getf secante.sci -->w15=secante(xmf,1,2,15) L2 MAI MAP24x w15 = 1.1655612 -->w20=secante(xmf,1,2,20) w20 = 1.1655612 3. Les ´ evaluations demand´ ees s’´ ecrivent -->f(w15)-w15 ans = 4.463D-14 -->f(w20)-w20 ans = 0. On constate que la m´ ethode est sup´ erieure ` a la m´ ethode it´ erative et a plus forte raison ` a la m´ ethode de dichotomie car en seulement 15 it´ erations elle oﬀre une pr´ ecision meilleure. En 20 it´ erations l’erreur est en dessous de la pr´ ecision de Scilab (qui est de l’ordre de 10−16). uploads/S4/ devoir-corrige-newton.pdf