CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 2010 EPREUVE DE MATHEMAT

CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 2010 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Partie I Question 1 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) FAUX Explication 1 : On sait que (M3(R), +, .) est un R espace vectoriel de dimension 9. En particulier, (M3(R), +) est un groupe commutatif. Donc a) est vrai et c) est faux. On sait que (M3(R), ×) n’est pas un groupe et que (M3(R), +, ×) est un anneau non commutatif. Donc b) et d) sont faux. Question 2 : a) FAUX b) FAUX c) VRAI d) FAUX Explication 2 : a) La multiplication d’une matrice par un réel n’est pas une loi de composition interne et donc a) est faux. c) et d) E = Vect(E1,1 + E2,2, E3,3, E1,2 + E2,1, E1,3 + E2,3, E3,1 + E3,2). Donc E est un sous-espace vectoriel de M3(R) ce qui équivaut au fait que E est non vide et stable par combinaison linéaire. c) est vrai et d) est faux. b) (E1,1 + E2,2)(E1,3 + E2,3) = E1,3 + E2,3 et (E1,3 + E2,3)(E1,1 + E2,2) = 0 ̸= E1,3 + E2,3. Donc, si × est interne dans E, × n’est pas commutative dans E. b) est faux. Question 3 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) VRAI Explication 3 : a) et b) Il est clair que F est contenu dans E. Ensuite, F = Vect(E1,1 + E1,2 + E2,1 + E2,2, E3,1 + E3,2, E1,3 + E2,3, E3,3) et donc F est un sous-espace vectoriel de E. Donc a) est vrai et b) est faux. c) et d) Si (E, +, ×) est un anneau, (E, +, ×) n’est pas commutatif et donc c) est faux. Ensuite, au gré des différents programmes officiels, il a été imposé à un sous-anneau de contenir l’élément neutre de la multiplication de l’anneau ou non. Il semblerait qu’en ce moment, ce soit le cas et on parie donc que d) est vrai. http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés. Question 4 : a) FAUX b) VRAI c) FAUX d) VRAI Explication 4 : a) rg   1 1 0 1 1 0 0 0 1  = 2 et donc a) est faux. b) Les colonnes C1 et C2 de N sont égales. Donc rg(N) = rg(C1, C2, C3) = rg(C1, C3) ⩽2. b) est vrai. c) Si α = δ = γ = ε = 0, alors rg(N) = 0 et donc c) est faux. d) En supprimant des lignes ou des colonnes égales à d’autres lignes ou d’autres colonnes, on obtient rg(N) = rg   α α γ α α γ δ δ ε  = rg  α α γ δ δ ε  = rg  α γ δ ε  . Si maintenant αε −γδ = 0, cette dernière matrice est une matrice carrée de format (2, 2) non inversible et donc de rang inférieur ou égal à 1. Donc d) est vrai. Question 5 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) FAUX Explication 5 : a) D’après la question 4.a), il est possible que rg(N) = 2 et donc que dim(Ker(fN)) = 1. Donc a) est faux. b) Si α = δ = γ = ε = 0, N = 0 puis dim(Ker(fN)) = 3. Donc b) est faux. c) Si αε −γδ ̸= 0, la question 4.d) montre que N est de rang 2 et donc dim(Ker(fN)) = 1. c) est faux. d) Si Ker(fN) contient D, il est nécessaire que α + α + 0 = 0 et donc α = 0. Donc si α = 1, Ker(fN) ne contient pas D. d) est faux. On note néanmoins que Ker(fN) contient toujours Vect((1, −1, 0)). Question 6 : a) FAUX b) FAUX c) VRAI d) FAUX Explication 6 : On sait que Im(fN) = Vect(f(e1), f(e2), f(e3)) où (e1, e2, e3) est la base canonique de R3. Posons v = e1+e2 puis u = 1 √ 2 v. Puisque f(e1) = f(e2) = αv + δe3 et f(e3) = γv + εe3, Im(fN) est contenu dans le plan P = Vect(v, e3) dont une base orthonormale est  e3, 1 √ 2 v  = (e3, u). Donc c) est vrai. d) est faux car la base fournie n’est pas orthonormale. P est bien sûr le plan d’équation x = y. Le vecteur (0, 1, 0) n’est pas dans P et puisque Im(f) ⊂P, a) et b) sont faux. http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés. Question 7 : a) VRAI b) FAUX c) VRAI d) FAUX Explication 7 : Pour toute matrice N de F, Im(fN) est contenue dans le plan P = Vect(e3, v) qui est encore le plan d’équation y = x. De plus, il existe N ∈F tel que rg(N) = 2 et dans ce cas, Im(fN) = P. Donc il existe un plan et un seul répondant aux contraintes de l’énoncé à savoir le plan P. d) est faux. Soit N ∈F. fN(e3) = γv+εe3 ∈P et fN(v) = 2αv+2δe3 ∈P. Donc P est stable par fN puis gN est bien un endomorphisme de P. ϕ(aN1 + bN2) = gaN1+bN2 = faN1+bN2/P = (afN1 + bfN2)/P = aϕ(N1) + bϕ(N2). ϕ est une application linéaire de F vers L(P). Soit N ∈F. ϕ(N) = 0 ⇒gN = 0 ⇒fN(v) = fN(e3) = 0 ⇒γv + εe3 = 2αv + 2δe3 = 0 ⇒α = δ = γ = ε = 0 ⇒N = 0. Donc ϕ est injective. a) est vrai et b) est faux. Puisque P est stable par chaque fN, ϕ(N1N2) = (fN1N2)/P = (fN1)/P ◦(fN2)/P = ϕ(N1) ◦ϕ(N2). c) est vrai. Question 8 : a) FAUX b) FAUX C) FAUX D) VRAI Explication 8 : a) et b) Les coefficients lignes et colonnes 1 et 2 de toute matrice de F sont égaux. Donc a) et b) sont faux. c) et d) Une base de F est (E1,1 + E1,2 + E2,1 + E2,2, E3,1 + E3,2, E1,3 + E2,3, E3,3). Donc dim(F) = 4 = dim(L(P)) < +∞. Puisque ϕ est linéaire et injective de F dans L(P), ϕ est un isomorphisme de F sur L(P). c) est faux et d) est vrai. Question 9 : a) FAUX b) VRAI c) FAUX d) FAUX Explication 9 : Soit N ∈F. Une base orthonormale de P est B = (u, e3) où u = 1 √ 2 (e1 + e2). fN(u) = 1 √ 2 × 2(α(e1 + e2) + δe3) = 2αu + √ 2δe3 et fN(e3) = √ 2γu + εe3. La matrice de gN dans la base orthonormale B est donc M =  2α √ 2γ √ 2δ ε  . Puisque B est orthonormale, gN est une isométrie de P si et seulement si M est une matrice orthogonale ou encore si et seulement si M est de la forme  a −b b a  ou de la forme  a b b −a  avec a2 + b2 = 1. Si α = 1 2, δ = γ = 0 et ε = 1, alors M = In et donc d) est faux. Si α = γ = δ = ε = 0, M = 0 et donc a) est faux. Enfin, gN ∈O(P) ⇔    4α2 + 2δ2 = 1 ε = 2α √ 2δ = − √ 2γ ou    4α2 + 2δ2 = 1 ε = −2α √ 2δ = √ 2γ ⇔      2α2 + δ2 = 1 2 ε = 2α δ = −γ ou      2α2 + δ2 = 1 2 ε = −2α δ = γ . Donc b) et c) sont faux. http ://www.maths-france.fr 3 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés. Question 10 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) FAUX Explication 10 : a) Dans ce cas, M =  1/ √ 2 1/ √ 2 1/ √ 2 −1/ √ 2  . gA est donc une isométrie négative de P c’est-à-dire une réflexion. Donc a) est vrai et b) et c) sont faux. gN est la réflexion par rapport à la droite d’équation 1 √ 2 x + 1 √ 2 y = x ou encore y = ( √ 2 −1)x ou enfin x = ( √ 2 + 1)y. Cette droite est engendrée par le vecteur de coordonnées ( √ 2 + 1, 1) et donc d) est faux. Partie II Question 11 : a) VRAI b) FAUX c) VRAI d) FAUX Explication 11 : a) et b) f est de classe C∞sur I en tant que quotient de fonctions de classe C∞sur I dont le dénominateur ne s’annule pas sur I. a) est vrai et b) est faux. c) et d) Pour x ∈I, f′(x) = 1 + x 1 + x −ln(1 + x) (1 + x)2 = 1 −ln(1 + x) (1 + x)2 uploads/S4/ enacpilotes-2010-corrige.pdf

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• Détails
• Publié le Mai 09, 2021
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
• Taille du fichier 0.1208MB