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Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences et techniques Marrakech Statistiques

Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences et techniques Marrakech Statistiques Probabilistes (Généralités sur les variables aléatoires) Animé par : 2008/2009 Pr AIT BABRAM Mohamed Semestre 3 Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Plan du chapitre ¾ Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité Fonction de répartition Caractéristiques Indépendance Covariance ¾ Variables aléatoires continues Fonction de répartition Loi ou densité de Probabilité Caractéristiques Indépendance Covariance Définition : Étant donnés un univers Ωmuni d’une probabilité P. On appelle variable aléatoire, toute application X permettant d’associer à chaque événement élémentaire ω une valeur numérique X(ω) (code !) Introduction aux variables aléatoires X: Ω X(Ω) ω X(ω) L’univers Ω Événement élémentaire Le code numérique de l’éventualité ω Toutes les valeurs (codes) que peut prendre X sur Ω. Définition : Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,P). On dit que X est discrète (resp. continue) si et seulement si l’ensemble X(Ω) des valeurs que peut prendre la variable aléatoire est dénombrable (resp. un intervalle). Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Introduction aux variables aléatoires Exemple (variable aléatoire discrète) : On lance deux dés. On note par X l’application qui, à chaque lancer, on associe la somme des résultats obtenus. { } 36 35 3 2 1 , , ... , , , ω ω ω ω ω = Ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 , 6 ; 5 , 6 ; 4 , 6 ; 3 , 6 ; 2 , 6 ; 1 , 6 6 , 5 ; 5 , 5 ; 4 , 5 ; 3 , 5 ; 2 , 5 ; 1 , 5 6 , 4 ; 5 , 4 ; 4 , 4 ; 3 , 4 ; 2 , 4 ; 1 , 4 6 , 3 ; 5 , 3 ; 4 , 3 ; 3 , 3 ; 2 , 3 ; 1 , 3 6 , 2 ; 5 , 2 ; 4 , 2 ; 3 , 2 ; 2 , 2 ; 1 , 2 6 , 1 ; 5 , 1 ; 4 , 1 ; 3 , 1 ; 2 , 1 ; 1 , 1 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω X(ω26) = X(ω31) = 7 X(ω33) = X(ω28) = 9 X(ω10) = X(ω5) = 6 Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Introduction aux variables aléatoires Exemple (variable aléatoire continue) : A la sortie d’une machine d’emballage, on pèse les paquets de farine. On note par X l’application qui, à chaque paquet, on lui associe son poids en gramme. On a constaté que les poids varie entre 300 g et 450 g. { } ... , , ... , , , 3 2 1 n P P P P = Ω X: Ω [300,450] Pi X(Pi) Le poids du i-ème paquet Remarque : On peut se permettre de considérer la variable aléatoire X comme discrète. Mais vue, le nombre faramineux de pesés qu’on peut éventuellement observer, il est commode, empiriquement, de regarder la variable X comme continue. Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Variables aléatoires discrètes ¾Loi de probabilité ¾Fonction de répartition ¾Indépendance ¾Espérance ¾Variance et Covariance ¾Variable centré réduite Loi de probabilité Soit X une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (Ω,P). On note par : ( ) { } ... , , , ... , , , , 1 4 3 2 1 n n a a a a a a X − = Ω Définition : On appelle loi de probabilité ou fonction de distribution de X, l’application qui, à chaque valeur possible ai de la variable aléatoire X, associe la probabilité P(X = ai). Loi de probabilité de X Remarque : Les quantités P(X = ai) représentent les probabilités des événements définis par : ( ) ( ) { } i i a X a X = Ω ∈ = = ω ω : Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Loi de probabilité Exemple : On lance deux dés. On note par X l’application qui, à chaque lancer, on associe la somme des résultats obtenus. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 Diagramme en bâtons de X ( ) { } 12 , 11 , ... , 3 , 2 = Ω X Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Loi de probabilité Remarque : Toute loi de probabilité vérifie la propriété suivante : Remarque : Dans le cas où une variable aléatoire discrète X peut prendre une infinité de valeurs, on présente la loi de probabilité par une formule !!! . Exemple : Sur une ligne de bus, 20 % des voyageurs n’ont pas payé de ticket. Chaque matin, contrôleur vérifie les billets jusqu’à ce qu’il tombe sur fraudeur. On note par X la variable aléatoire définie par : X : Le nombre de personne qu’il a fallu contrôler pour en trouver une situation irrégulière. On admettra alors que pour tout k, entier non nul, on a ( ) ( )( )( ) 1 8 , 0 2 , 0 − = = k k X P ( ) 1 = = ∑ i i a X P Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Loi de probabilité Exemple : Reprenons l’exemple de l’urne qui contient 3 boules noires et 4 boules rouges. Procédons nous aux trois modes d’expérience. On considère les variables aléatoires suivantes : X1 : le nombre de boules rouges obtenu. X2 : le nombre de boules noires obtenu. ( ) ( ) ( ) { } 2 , 1 , 0 3 2 1 = Ω = Ω = Ω i i i X X X La probabilité d’avoir 2 boules rouges est égale à celle d’avoir 0 boules noires La probabilité d’avoir 1 boule rouges est égale à celle d’avoir 1 boules noires Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Loi de probabilité Remarque : On note que, pour l’exemple précédent, on a 6 cas de figures. Une illustration graphique de ces différentes fonctions de distribution est comme suite : P(X1=k) P(X2=k) 2 Ω1 Ω3 Ω2 Ω3 Ω2 Ω1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 3/21 12/21 6/21 3/21 12/21 6/21 9/49 24/49 16/49 9/49 24/49 16/49 6/42 24/42 12/42 6/42 24/42 12/42 Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (Ω,P). On note par : ( ) { } ... , , , ... , , , , 1 4 3 2 1 n n a a a a a a X − = Ω Définition : On appelle fonction de répartition de X, l’application F qui, à chaque réel x, associe la probabilité pour que la variable X prenne une valeur inférieure ou égale à x. ( ) ( ) R x tout pour x X P x F ∈ ≤ = Remarque : La quantité P(X ≤x) représente la probabilité pour que l’événement suivant soit réalisé : ( ) ( ) { } x X x X ≤ Ω ∈ = ≤ ω ω : Pr. AIT BABRAM Mohamed Variables Aléatoires FSTG Marrakech Fonction de répartition Propriétés : Soit X une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (Ω,P). On a les assertions suivantes : ¾ F est une fonction croissante; ¾ 0 ≤F(x) ≤1; ¾ Lim F(x) =1; x →+ ∞ ¾ Lim F(x) =0; x →- ∞ ¾ P( a < X ≤b ) = F(b) – F(a); Remarque : Dans le cas où la variable aléatoire X est discrète, il est important dans la dernière propriété de veiller aux inégalités ( l’une stricte et l’autre large). ! Pr. uploads/S4/ generalites-va.pdf