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L.S.IBN-ROCHD MENZEL BOURGUIBA DEVOIR FINAL MATHÉMATIQUES 4 M M. ZOGHBI 4H 1/4

L.S.IBN-ROCHD MENZEL BOURGUIBA DEVOIR FINAL MATHÉMATIQUES 4 M M. ZOGHBI 4H 1/4 Exercice 1: Les parties I) II) et III) sont indépendantes. I) Dans un magasin d'électroménagers, on s'intéresse au comportement d'un acheteur potentiel d'un téléviseur et d'un lecteur DVD. On note T l'événement :"le client achète un téléviseur" et L l'événement:" le client achète un lecteur DVD". La probabilité qu'il achète un téléviseur est de 0.6. La probabilité pour qu'il achète un lecteur DVD quand il achète un téléviseur est de 0.4. La probabilité pour qu'il achète un lecteur DVD quand il n'a pas acheté de téléviseur est de 0.2. 1) Quelle est la probabilité pour qu'il achète un téléviseur et un lecteur DVD? 2) Quelle est la probabilité pour qu'il achète un lecteur DVD? 3) Le client achète un lecteur DVD. Quelle est la probabilité qu'il achète un téléviseur? 4) Compléter l'arbre pondéré suivant: II) Le nombre de pannes journalières d'une machine est une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est définie par: 1) Déterminer p sachant que P(X=5)=P(X=6) . 2) Quelle est la fonction de répartition F de X. En donner une représentation graphique (voir annexe). 3) Trouver x1 sachant que F(x1)=0.8. III) La durée de vie en années d'un appareil électronique est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle du paramètre λ=0.16. 1)a. Calculer p(Y8). b. Calculer la probabilité pour que l'appareil ait une durée de vie inférieur à trois mois. c. Déterminer t pour que p(Yt) = p(Yt). 2) Sachant qu’un appareil électronique a déjà fonctionné 6 ans, calculer la probabilité qu'il fonctionne 4 ans de plus. 3) Une personne achète n appareils électroniques. On suppose que la durée de vie d'un appareil est indépendante de celles des autres. a. Exprimer en fonction de n la probabilité pn qu'au moins un appareil fonctionne plus que 8 ans. b. Déterminer n pour que pn0.998. xi 0 1 2 3 4 5 6 pi 0.3 0.2 0.15 0.15 0.10 p p L L T T T T 2/4 Exercice 2: Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct  ; ; O i j  , on considère la parabole (P) de foyer F(0;2) et de directrice (D) d'équation y=4. On désigne par (∆) la parallèle à (D) et passant par le point F. 1) Soit M un point de (P) d'ordonnée inférieure strictement à 2 et H le projeté orthogonal de M sur(∆). a. Montrer que MF-MH=2. b. En déduire que le cercle de centre M et passant par H est tangent au cercle de diamètre [AB] où A et B sont les points d'intersection de (P) avec la droite (∆). c. Trouver une équation de (P) dans le repère   ; ; O i j  puis tracer (P) (voir annexe) 2)a. Soit (Dm) une droite variable d'équation y=mx+2 où m est un paramètre réel. Justifier que la droite (Dm) coupe (P) en deux points distincts S et T. b. Montrer que le milieu I de [ST], appartient à une conique fixe (P') dont on donnera une équation dans le repère   ; ; O i j  . 3) Soit l'ellipse (E) d'excentricité e= 1 3 , de foyer F(0;2) et de directrice associée la droite (D). a. Justifier que (E) et (P) n'ont aucun point en commun. b. trouver une équation de (E) dans le repère  ; ; O i j  . c. déterminer les sommets de (E), son deuxième foyer F' et sa deuxième directrice (D'). d. Tracer F', (D') et (E) dans le repère   ; ; O i j  . Exercice 3: Les parties I/ et II/ sont indépendantes I/Soit A= 2017 2017 . 1) a. Déterminer le reste de A modulo 7. b. Déterminer selon l'entier naturel n, le reste de 4n modulo 11. b. En déduire que   6 0 mod77 A  . 2) pour n, on pose 0 2017 n k n k B   . a. Justifier que pour tout entier naturel k, l'entier 5 5 1 5 2 5 3 5 4 4 4 4 4 4 k k k k k         est divisible par 11. b. Déduire que pour tout entier naturel n, on a   5 mod11 n n B B  . c. Déterminer, selon les valeurs de l'entier naturel n, les restes de modulo 11. n B 3) On considère, dans Z ,l'équation (E):   0 mod11 n Ax B   . a. Montrer que: x est solution de (E) si, et seulement si   2 mod11 n x B  . c. Déterminer alors les solutions de (E) et préciser celles qui sont divisibles par 11. 3/4 II/1)a. Résoudre dans Z x Z l'équation (F): 7x -11y =3. b. Montrer que les solutions de (F) sont les couples (x, y) tels que x=11k+2 et y=7k+1 avec kZ . c. En déduire les solutions du système       z 2 mod7 : z 5 mod11 z 1 mod 3 S         2) On considère dans Z x Z l'équation (F1): 7x² -11y² =3. a. Montrer que si (x, y) est une solution de (F1) alors   2 2 2 mod3 x y  . b. En déduire que si (x, y) est une solution de (F1) alors x et y sont des multiples de 3. c. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( , , ) O u v  . On considère l'hyperbole (H): 7x² -11y² =3. Existe-t-il des points de coordonnées entières appartenant à l'hyperbole (H)? si oui lesquels? Exercice 4: Soit f la fonction définie sur R par 2 ( ) 1 x x e f x e   . Soit ( f C )sa courbe représentative dans un repère orthonormé( , , ) O i j  d'unité:2cm. I/1)a. Etudier la parité de f. b. Justifier la dérivabilité de f sur R . c. Calculer  ' f x pour tout réel x, puis dresser le tableau de variations de f. d. Tracer ( f C ) dans le repère( , , ) O i j  . 2)a. Montrer que la restriction f1 de f sur  0,, réalise une bijection de   0,sur un intervalle J que l'on déterminera. b. Déterminer 1 1 ( ) f x  pour tout x de J. c. Tracer , dans le repère orthonormé( , , ) O i j  , la courbe représentative ( 1 1 f C ) représentative de 1 1 f . II/ Soit la fonction F définie sur I= , 4 2        par ln(tan ) 0 ( ) ( ) x F x f t dt  . 1) Etudier la dérivabilité de F sur I puis calculer F'(x) pour tout x de I. 2) En déduire que: pour tout x de I,  F x x  4   . 3) Soit  un réel positif, justifier l'existence d'un unique réel de I tel que: ln(tan )    . 4) Calculer, en cm², l'aire A( ) de la partie du plan délimitée par la courbe ( f C ), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=  puis calculer lim ( ) A    . 4/4 III/ Pour tout entier non nul n, on considère les fonctions et n n g h définies sur  ,0  par: ( ) ( ) 1 1 ( ) (ln ) et h ( ) ( n ) f x f x n n n n g x t t dt x t l t dt     1) Calculer 1 1 ( ) et lim ( ) x g x g x  2) Montrer que, à l'aide d'une intégration par tarties, que pour tout entier naturel n 1 :            2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ln( ( ) ( ) et h ( ) ( ) ln( ( ) ( ) 1 2 2 1 ( 1) n n n n n n n g x f x f x g x x f x f x f x n n             . 3) Montrer, par récurrence sur n, que la fonction n g admet en une limite finie non nulle n L . 4) Montrer que: * 1 1 , L ! ( 1) 2 n n n n N n     et que 2 1 lim ( ) ( 1) n x h x n    . Barème: Exercice 1: Exercice 2: Exercice 3: Exercice 4: 5/4 Annexe (à rendre avec la copie) Nom:...................................Prénom:................................... uploads/S4/ devoir-final-mai-2017.pdf