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Universit´ e de Lyon Pr´ eparation au CAPES Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

Universit´ e de Lyon Pr´ eparation au CAPES Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 2009-2010 G´ EOM´ ETRIE 3 : ESPACES EUCLIDIENS Corrig´ e du probl` eme Principaux points ` a retenir. 1. La r´ eponse ` a la question 1.3 (i) donne une nouvelle illustration de l’utilit´ e du « principe de conjugaison » d´ ecrit dans l’exercice 3.2 2. La m´ ethode utilis´ ee pour d´ emontrer l’existence d’un triangle inscrit de p´ erim` etre minimal : on utilise un argument topologique en consid´ erant une fonction continue ad´ equate sur un espace topologique compact (question 2.2) 3. Le principe des raisonnements utilisant l’hypoth` ese que l’on connaˆ ıt un triangle de p´ erim` etre minimal : on obtient des informations en essayant de contredire ce caract` ere minimal (questions 2.3 et 2.4) 4. L’utilisation du produit scalaire (ou, de mani` ere ´ equivalente, du cosinus) pour ´ etudier la position des demi-droites vectorielles contenues dans un mˆ eme demi-plan (question 2.4 (i)). 5. On peut enﬁn retenir l’´ enonc´ e du th´ eor` eme de Fagnano (question 2.5) et envisager d’utiliser certaines parties de la d´ emonstration ` a l’oral (lec ¸ons 34, 38, 39) 1. Trajectoires de billard 1.1 (i) L’application f = σ(AB) ◦σ(AC) ◦σ(BC) est un antid´ eplacement car compos´ ee d’un nombre impair d’an- tid´ eplacements ; il s’agit donc d’une r´ eﬂexion ou d’une sym´ etrie gliss´ ee. + + C A A” C” B Les ´ egalit´ es f(C) = C′′ et f(A′′) = A se d´ eduisent directement de la d´ eﬁnition de f. Si cette isom´ etrie ´ etait une r´ eﬂexion, alors f(A) = A′′ car f −1 = f et son axe D serait perpendiculaire aux droites (AA′′) et (CC′′). Comme (BC) ⊥(AA′′) et (AB) ⊥(CC′′), on en d´ eduirait que les droites (AB) et (BC) seraient parall` eles, donc confondues ; ceci est exclu puisque le triangle ABC est non plat. Nous avons ainsi d´ emontr´ e que f est une sym´ etrie gliss´ ee. Il est connu que toute isom´ etrie de ce type stabilise une droite et une seule (cf. exercice 3.2, question 2). Remarque — On peut ´ egalement invoquer l’exercice 3.2, o` u l’on a prouv´ e (question 3) que la compos´ ee de trois r´ eﬂexions est une r´ eﬂexion si et seulement si les trois axes sont parall` eles ou concourants. (ii) Quel que soit le point M du plan, la droite D passe par le milieu du segment [M f(M)]. Appliquant ceci avec M = A′′ et M = C, nous en d´ eduisons que la droite D passe par les milieux des segments [AA′′] et [CC′′], c’est-` a-dire par les pieds des hauteurs issues de A et de C respectivement. 1.2 Nous supposons dans cette question qu’il existe une trajectoire de billard A′B′C′. 1 2 (i) Puisque A′B′C′ est une trajectoire de billard, σ(BC)(A′C′) = (A′B′), σ(AC)(A′B′) = (B′C′) et σ(AB)(A′C′). Ces conditions impliquent f(A′C′) = (A′C′). (ii) D’apr` es la question 1.1 (ii), les points A′ et C′ sont n´ ecessairement les pieds des hauteurs respectivement issues de A et de C. En raisonnant comme pr´ ec´ edemment, on prouve ´ egalement que la bijection afﬁne g = σ(AC) ◦σ(AB) ◦σ(BC) est une sym´ etrie gliss´ ee d’axe (A′B′), lequel passe par les pieds des hauteurs issues de A et B ; on en d´ eduit en particulier que le point B′ est le pied de la hauteur issue de B. Par hypoth` ese, les points A′ et C′ sont respectivement int´ erieurs aux cˆ ot´ es [BC] et [AB]. Joint au fait que A′ (resp. C′) est le pied de la hauteur issue de A (resp. C), ceci implique que les angles [ ABC et [ ACB (resp. d BAC et [ ABC) sont aigus (1). Nous pouvons ainsi tirer deux conclusions de ce qui pr´ ec` ede : s’il existe une trajectoire de billard A′B′C′, alors – elle est alors unique, car les points A′,B′ et C′ sont n´ ecessairement les pieds des hauteurs respectivement issues de A,B et C ; – tous les angles du triangle ABC sont aigus. 1.3 (i) Supposons que tous les angles du triangle ABC soient aigus et d´ esignons par A′,B′ et C′ les pieds des hauteurs respectivement issues de A,B et C. Nous allons v´ eriﬁer que le triangle A′B′C′ est une trajectoire de billard. Observons tout d’abord que les points A′,B′ et C′ appartiennent respectivement ` a l’int´ erieur des segment [BC],[AC] et [AB] car les angles du triangle ABC sont aigus. La premi` ere condition d´ eﬁnissant une trajectoire de billard est donc v´ eriﬁ´ ee. D’apr` es les questions 1.1 (i) et (ii), f = σ(AB) ◦σ(AC) ◦σ(BC) est une sym´ etrie gliss´ ee d’axe (A′C′). On en d´ eduit que g = σ(BC) ◦f ◦σ −1 (BC) = σ(BC) ◦f ◦σ(BC) = σ(BC) ◦σ(AB) ◦σ(AC) est une sym´ etrie gliss´ ee d’axe σ(A′C′) (principe de conjugaison, cf. exercice 3.2). Par un raisonnement ana- logue ` a celui de la question 1.1, on d´ emontre par ailleurs que g est une sym´ etrie gliss´ ee d’axe (A′B′). L’unicit´ e de l’axe d’une sym´ etrie gliss´ ee permet de conclure ` a l’´ egalit´ e σ(BC)(A′C′) = (A′B′), ce qui signiﬁe que la droite (BC) est une bissectrice des droites (A′C′) et (A′B′). On prouve de mˆ eme les ´ egalit´ es : σ(AB)(B′C′) = (A′C′) et σ(AC)(A′B′) = (C′B′), donc la droite (AB) (resp. (AC)) est une bissectrice des droites (A′C′) et (B′C′) (resp. (B′A′) et (B′C′)). La seconde condition d´ eﬁnissant une trajectoire de billard est ainsi v´ eriﬁ´ ee. Conclusion — Si tous les angles du triangle ABC sont aigus, alors le triangle construit sur les pieds des hauteurs est une trajectoire de billard, et c’est la seule d’apr` es la question 1.2 (ii). (ii) Si l’un des angles du triangle ABC est droit ou obtus, alors il n’existe aucune trajectoire de billard en vertu de la question 1.2 (ii). 2. Triangle inscrit de p´ erim` etre minimal Soit N′ le sym´ etrique de N par rapport ` a D. La droite (MN′) intersecte D en un point X0 puisque les points M et N′ sont de part et d’autre de D. En vertu de l’in´ egalit´ e triangulaire : MX+NX = MX+N′X ⩾MN′ = MX0 +N′X0 = MX0 +NX0 (1)C’est ´ evident sur un dessin. Pour le justiﬁer compl` etement, il sufﬁt d’´ ecrire (− → BA|− → BC) = BA′ ·BC = BA·BC·cos([ ABC) et d’observer que ce nombre r´ eel est strictement positif car A′ ∈]BC[ ; on obtient ainsi cos([ ABC) > 0 et l’angle [ ABC est bien aigu. 3 pour tout point X ∈D, avec ´ egalit´ e si et seulement si les points M,N′,X sont align´ es, c’est-` a-dire si et seulement si X = X0. Parmi les points de D, X0 est caract´ eris´ e par le fait que D soit une bissectrice des droites (MX0) et (NX0) : d´ esignant en effet par σ la r´ eﬂexion par rapport ` a D, σ(XN) = (XM) ⇐ ⇒(XN′) = (XM) ⇐ ⇒X ∈(MN′) ⇐ ⇒X = X0 pour tout point X ∈D. D + + + M N N’ X X0 Compl´ ement — Il sera utile un peu plus loin de savoir que la fonction D →R, X 7→MX+NX est, sur chacune des deux demi-droites issues de X0, strictement croissante en fonction de la distance XX0 : pour tous points X,Y ∈D situ´ es du mˆ eme cˆ ot´ e du point X0, XX0 < YX0 = ⇒MX+NX < MY+NY. Si cette in´ egalit´ e est ´ evidente lorsque X et Y sont en dehors du projet´ e orthogonal de [MN] sur D, tel n’est pas le cas en g´ en´ eral du fait des variations ´ eventuellement oppos´ ees des distances aux points M et N (cf. ﬁgure). + + + N M N’ X0 Y X Consid´ erons donc deux points X,Y ∈D situ´ es du mˆ eme cˆ ot´ e de X0 et tels que XX0 < YX0. Il existe t ∈]0,1] tel que X = bar{(Y;1−t),(X0;t)}. Vu les identit´ es − − → MX = (1−t)− − → MY+t− − → MX0 et − → NX = (1−t)− → NY+t− → NX0, nous obtenons MX = ||− − → MX|| = ||(1−t)− − → MY+t− − → MX0|| ⩽(1−t)||− − → MY||+t||− − → MX0|| = (1−t)MY+tMX0 et NX = ||− → NX|| = ||(1−t)− → NY+t− → NX0|| ⩽(1−t)||− → NY||+t||− → NX0|| = (1−t)NY+tNX0. En additionnant, il vient MX+NX ⩽(1−t)(MY+NY)+t(MX0 +NX0), puis MX+NX ⩽(1−t)(MY+NY)+t(MY+NY) = MY+NY car MX0 +NX0 ⩽MY+NY. Cette in´ egalit´ e est stricte puisque YX0 > XX0 ⩾0 et donc Y ̸= X0. 2.2 L’espace topologique [AB]×[BC]×[AC] est compact et la fonction F : [AB]×[BC]×[AC] →R, (X,Y,Z) 7→XY+YZ+ZX est continue, donc il existe un triplet (X0,Y0,Z0) ∈[AB]×[BC]×[AC] tel que F(X0,Y0,Z0) soit le minimum de la uploads/S4/ geoiiicc-2.pdf