ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d’exercices en Hydrologie Cours
ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d’exercices en Hydrologie Cours : Hydrologie Appliquée / Thématique : Etude des Crues ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Logo optimisé par J.-D.Bonjour, SI-DGR 13.4.93 Exercice n° HA 0802 - Corrigé Estimations du débit de pointe de temps de retour 20 et 100 ans par la méthode statistique et celle du GRADEX - Application au bassin versant de la Viège à Viège (VS, Suisse) Données de l’exercice : L’exercice porte sur le bassin versant de la Viège à Viège (778 km2). Les données concernant les précipitations maximales journalières annuelles [en mm/24h] enregistrées de 1922 à 1955 à une station de la région (série de 34 ans de mesure) se trouvent dans le tableau I-énoncé-colonne 2. Les débits moyens maximaux journalier annuels [en m3/s] et les débits de pointe correspondants [en m3/s] enregistrés sur la Vièges de 1922 à 1964 (43 ans de mesure) sont présentés dans le tableau 1- énoncé, dans les colonnes 2 et 3. Les données nécessaires à la réalisation de cet exercice sont aussi regroupées dans les fichiers Excel « HA0802_enonce.xls » ou « HA0802_feuilledecalcul.xls » (feuilles de calcul à compléter). Les résultats sont disponibles sur le fichier Excel « HA0802_corrige.xls ». Question 1 : Estimation des débits de pointe de temps de retour 20 et 100 ans par la méthode statistique – Méthode des Moments Méthode à appliquer : ajustement statistique d’une série de données -Gumbel L’objectif de cet exercice est d’estimer les débits de pointes (débits maximaux) correspondants à un certain temps de retour, c’est-à-dire à une certaine probabilité d’apparition donnée. L'analyse fréquentielle d'une longue série de débits maximaux permet d’estimer le temps de retour d'une valeur particulière. Cette prédiction repose sur la définition et la mise en œuvre d’un modèle fréquentiel qui est une équation décrivant (modélisant) le comportement statistique d’un processus. Ces modèles décrivent la probabilité d’apparition d’un événement de valeur donnée. C’est du choix du modèle fréquentiel (et plus particulièrement de son type) que dépendra la validité des résultats de l’analyse fréquentielle. Un modèle fréquentiel très souvent utilisé pour décrire le comportement statistique des valeurs extrêmes est la distribution statistique de Gumbel (loi double exponentielle ou loi de Gumbel). La fonction de répartition de la loi de Gumbel F(x) s’exprime de la manière suivante : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = b a x x F exp exp ) ( (1) avec la variable réduite suivante : b a x u − = (2) où a et b sont les paramètres du modèle de Gumbel. La distribution s’écrit alors de la manière suivante : ( ) exp( exp ) ( u x F − − = ) (3) et ( ) ( ) ) ( ln ln x F u − − = . (4) L’avantage d’utiliser la variable réduite est que l’expression d’un quantile est alors linéaire ( ). q q bu a x + = En conséquence, dès lors que les points de la série à ajuster peuvent être reportés dans un système d’axes u x − , il est possible d’ajuster une droite qui passe le mieux par ces points et d’en déduire les deux paramètres a et b de la loi. L’estimation des paramètres a et b de l’ajustement peut se faire Mise à jour le 08.04.2004 HA 0802 - Page 1 graphiquement (ajustement à l’œil ou à l’aide d’une régression statistique), ou selon une méthode mathématique comme celle des moments (cf. ci-dessous). En pratique il s’agit essentiellement d’estimer la probabilité de non dépassement F(xi) qu’il convient d’attribuer à chaque valeur xi. Il existe de nombreuses formules d’estimation de la fonction de répartition à l’aide de la fréquence empirique. Elles reposent toutes sur un tri de la série par valeurs croissantes permettant d’associer à chaque valeur son rang r. Des simulations ont montré que pour la loi de Gumbel, il faut utiliser la fréquence empirique de Hazen : ) ( ˆ x F [ ] ( ) 0.5 r r F x n − = (5) où r est le rang dans la série de données classée par valeurs croissantes, n est la taille de l’échantillon, x[r] la valeur de rang r. Rappelons encore que le temps de retour T d'un événement est défini comme étant l'inverse de la fréquence d'apparition de l'événement. Soit : 1 1 ( Q Q T ) F x = − . (6) A l’aide de l’ajustement, il est alors possible d’estimer le débit de pointe pour un temps de retour donné. Méthode à appliquer : Méthode des moments La méthode des moments consiste à égaler les moments des échantillons avec les moments théoriques de la loi1. Par la méthode des moments les paramètres a et b sont calculés d’après les formules : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = . ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ˆ γ μ σ π b a b avec 5772 . 0 = γ (constante d’Euler). (7) avec σ : écart-type des valeurs composant l’échantillon. μ : moyenne de l’échantillon. Dès lors il est possible d’estimer les débits dont la représentation graphique est une droite d’équation : ˆ ˆ ˆ Q a b u = + ⋅ (8) avec u: variable réduite (cf. équation (4)). Démarche et résultats Etape 1 : Préparation de la série de données des débits de pointe. Trier les valeurs dans l’ordre croissant. Attribuer un rang à chaque valeur. 1 Autrement dit : la méthode des moments consiste à égaler les caractéristiques de la distribution (empirique) des échantillons avec les caractéristiques théoriques de la loi. Les caractéristiques utilisées pour décrire une distribution sont les moments dont les plus connus sont la moyenne et la variance (la moyenne d’une distribution est appelée premier moment, la variance est le deuxième moment). Les moments d’ordre plus élevés sont utiles pour caractériser d’autres aspects de la distribution. Le troisième moment est par exemple lié à l’asymétrie ou la dyssimétrie. Mise à jour le 08.04.2004 HA 0802 - Page 2 Etape 2 : Calcul de la fréquence empirique pour chaque rang (Hazen, équation (5)). Etape 3 : Calcul de la variable réduite « u » du Gumbel (équation (4)). Etape 4 : Représentation graphique des couples (ui, xi) de la série à ajuster (figure 1). 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 variable réduite de Gumbel u [-] Débit de pointe [m3/s] Figure 1. Ajustement graphique du modèle (calcul des paramètres « a » et « b » de la droite d’ajustement de Gumbel par la méthode des moments) Etape 5 : Ajustement d’une relation linaire de type q q bu a x + = aux couples (ui, xi) (figure 1). Avec un ajustement par la méthode des moments, on a alors pour ce premier ajustement une estimation des paramètres a1 et b1 : a1 = 167 et b1 = 38.2 Vérifier de manière visuelle l’ajustement. Etape 6 : Utilisation du modèle statistique pour estimer des débits de pointe de différents temps de retour T. Par exemple pour T=100 ans, on suit les étapes suivantes : Calcul de la fréquence de non-dépassement d’après la relation (6) : 1 1 ( ( )) 1 1 0,99 100 p F Q T T = − = − = Calcul de la variable réduite de Gumbel correspondante d’après la relation (4) : ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ( ( )) ln ln 0,99 4,60 p u F Q T = − − = − − = Calcul du quantile correspondant d’après la relation linéaire (avec a et b fournis par l’étape 5 précédente ) : 3 1 1 100 (100) 167 38.2 0.99 342 m /s p Q a b u = + ⋅ = + ⋅ = On a de même pour T = 20 ans : 3 1 1 20 (20) 167 38.2 0.95 280 m /s p Q a b u = + ⋅ = + ⋅ = Mise à jour le 08.04.2004 HA 0802 - Page 3 Question 2 : Estimation des débits de pointe de temps de retour 20 et 100 ans par la méthode du GRADEX Méthode à appliquer : Méthode du GRADEX La méthode du GRADEX a été conçue, mise au point, testée et validée par le groupe de recherche d’EDF2 (Guillot and Duband, 1967). Elle a pour but de rechercher les débits maximaux de crues pour des fréquences d’apparition rares à très rares ( temps de retour de plus de 100 ans). Elle s’applique notamment lorsque l’on dispose d’une longue série de pluie et d’une courte série de débit (env.10 ans ) sur le bassin, et spécialement dans les régions de montagne. Cette méthode s’appuie sur différentes hypothèses : 1. Les débits maximums recherchés sont provoqués uniquement par des pluies maximales, uniformément réparties sur le bassin. 2. Les pluies maximales et les débits correspondants (débits maximaux) suivent une même loi de uploads/S4/ ha0802-corrige 2 .pdf
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- Publié le Jan 23, 2021
- Catégorie Law / Droit
- Langue French
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