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Trigonométrie À première vue, on peut croire qu'il y a beaucoup de formules à a

Trigonométrie À première vue, on peut croire qu'il y a beaucoup de formules à apprendre en trigonométrie. Ce n'est pas forcément vrai, car beaucoup peuvent se retrouver facilement, en particulier avec l'aide d'un petit dessin sur votre brouillon. 1. Dé nitions : Dans un triangle rectangle, pour chaque angle non-droit on dé nit le côté adjacent à l'angle et le côté opposé. On a alors les relations suivantes (SOHCAHTOA) : Sinus = Oppos´ e Hypoth´ enuse , Cosinus = Adjacent Hypoth´ enuse , Tangente = Oppos´ e Adjacent = Sinus Cosinus Dans le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1, notons M le point du cercle tel que − → OA, − − → OM = θ. On retrouve que cos(θ) est l'abscisse du point M et sin(θ) son ordonnée. 2. Angles remarquables : Dé nition du radian : Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites sécantes distinctes, et un cercle de rayon r et de centre le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians (rad) est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r : α = L r . L'angle correspondant à un tour est donc 2π radians. Il faut savoir placer sur le cercle trigonométrique les angles suivants pour retrouver rapidement leur sinus et cosinus : Angle en radian 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3π 2 2π Valeur en degré 0 30° 45° 60° 90° 180° 180° 360° sinus 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 0 -1 0 cosinus 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 -1 0 1 Les relations ci-dessous ne sont pas à apprendre, elles doivent être retrouvées rapidement à l'aide du cercle trigonométrique : Par exemple la gure ci contre permet de retrouver : cos(π/2 −x) = sin(x) sin(π/2 −x) = cos(x) cos(π/2 + x) = −sin(x) sin(π/2 + x) = cos(x) De la même manière un dessin permet de retrouver : cos(−x) = cos(x) cos(π −x) = −cos(x) cos(π + x) = −cos(x) sin(−x) = −sin(x) sin(π −x) = sin(x) sin(π + x) = −sin(x) 1. Formules de trigonométrie : cos2 x + sin2 x = 1 cos(a + b) = cos a cos b −sin a sin b et sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a −b) = cos a cos b + sin a sin b et sin(a −b) = sin a cos b −sin b cos a cos 2a = cos2 a −sin2 a = 2 cos2 a −1 = 1 −2 sin2 a et sin(2a) = 2 sin a cos a (prendre b = a) cos2 a = 1 + cos 2a 2 et sin2 a = 1 −cos 2a 2 (se retrouvent à partir de cos(2a)) uploads/S4/ trigonometrie 1 .pdf