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Probl` emes de Math´ ematiques Homographies du plan complexe ´ Enonc´ e Homogra

Probl` emes de Math´ ematiques Homographies du plan complexe ´ Enonc´ e Homographies du plan complexe Notations – On note b C = C ∪{∞} l’ensemble obtenu en ajoutant ` a C un point ` a l’inﬁni. Pour tout z de C∗, on pose par convention z/0 = ∞. – Pour tout quadruplet v = (a, b, c, d) de C4, on note δ(v) = ad −bc. On note E = {v = (a, b, c, d) ∈C4, δ(v) ̸= 0}. A tout ´ el´ ement v de E on associe l’application hv de b C dans lui-mˆ eme d´ eﬁnie par : ∀z ∈C \ {−d/c}, hv(z) = az + b cz + d, hv(−d/c) = ∞, hv(∞) = a/c. Remarque : la convention z/0 = ∞permet d’inclure le cas c = 0 dans la d´ eﬁnition de hv. Plus pr´ ecis´ ement, si c = 0 (donc a ̸= 0 et d ̸= 0) : ∀z ∈C, hv(z) = az + b d , et hv(∞) = ∞. – On note H = {hv, v ∈E}. Les ´ el´ ements de H sont appel´ ees homographies de b C. – Pour tout (a, b) de C∗× C, on note sa,b = ha,b,0,1. On note S = {sa,b, a ∈C∗, b ∈C}. L’application sa,b est donc d´ eﬁnie par sa,b(z) = az + b si z ∈C et sa,b(∞) = ∞. Les ´ el´ ements de S sont appel´ es similitudes directes de b C. – On consid` ere le plan euclidien orient´ e, muni d’un rep` ere orthonorm´ e direct. On identiﬁe tout point M de ce plan avec son aﬃxe z de C. Cette identiﬁcation permet de parler des cercles et des droites de C. – Une droite de b C est la r´ eunion b ∆= ∆∪{∞}, o` u ∆est une droite de C. On dit qu’une partie de b C est un cercle de b C si c’est un cercle de C ou une droite de b C. Les droites de b C sont donc les cercles de b C qui contiennent le point ` a l’inﬁni. Remarque : on consid` ere dans ce probl` eme que les cercles ont un rayon strictement positif. – On note b C l’ensemble dont les ´ el´ ements sont les cercles de b C. I. Le groupe des homographies 1. Soient u un ´ el´ ement de E. V´ eriﬁer que hλu = hu pour tout λ de C∗. On admettra que la r´ eciproque est vraie. Ainsi hu = hv ⇔∃λ ∈C∗, v = λu. Identiﬁer l’application hu quand u = (1, 0, 0, 1). [ S ] 2. Soient u = (a, b, c, d) et v = (a′, b′, c′, d′) deux ´ el´ ements de E. V´ eriﬁer que u ⊗v = (aa′ + bc′, ab′ + bd′, ca′ + dc′, cb′ + dd′) est un ´ el´ ement de E. Montrer que hu ◦hv = hu⊗v (on pourra se limiter au cas g´ en´ eral). [ S ] 3. Montrer que toute homographie hv est une bijection de b C sur lui-mˆ eme. On v´ eriﬁera plus pr´ ecis´ ement que h−1 v = hv′ avec v′ = (d, −b, −c, a). [ S ] 4. Montrer que H est un groupe (non commutatif) pour la loi de composition. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c ⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites. Probl` emes de Math´ ematiques Homographies du plan complexe ´ Enonc´ e II. L’homographie z 7→1/z et les cercles de b C On va montrer que l’homographie z 7→1/z est une involution de l’ensemble des cercles de b C. 1. (a) Soit ∆une droite de C ne passant pas par 0. Soit ω la projection orthogonale de 0 sur ∆. Soit z dans C. Montrer que z est sur ∆si et seulement si Re ((z −ω) ω) = 0. [ S ] (b) Soit C un cercle de C, et soient u, v deux points diam´ etralement oppos´ es de C. Soit z dans C. Montrer que : z ∈C ⇔Re ((z −u) (z −v)) = 0. [ S ] 2. On note ϕ = h(0,1,1,0). V´ eriﬁer que l’application ϕ est une involution de b C. En utilisant les r´ esultats de la question II.1, montrer successivement que l’image par ϕ : (a) D’une droite ∆de b C passant par 0 est une droite de b C passant par 0. Comment ces deux droites se d´ eduisent-elles l’une de l’autre ? [ S ] (b) D’un cercle C de C passant par 0 est une droite de b C ne passant pas par 0. Indication : si ω est le point de C diam´ etralement oppos´ e de 0, et si on pose ω′ = ϕ(ω), on montrera que ϕ(C) est la droite orthogonale en ω′ au segment [ 0, ω′ ]. [ S ] (c) D’une droite de b C ne passant pas par 0 est un cercle de C passant par 0. [ S ] (d) D’un cercle de C ne passant par par 0 est un cercle de C ne passant pas par 0. Indication : soit u, v deux points diam´ etralement oppos´ es de C et align´ es avec 0. Montrer que ϕ(C) est le cercle de diam` etre [ ϕ(u), ϕ(v) ] [ S ] 3. On note envore ϕ l’application d´ eﬁnie sur P(b C) par X 7→ϕ(X) = {ϕ(z), z ∈X}. D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede que ϕ r´ ealise une involution de l’ensemble b C. [ S ] III. Homographies et cercles de b C On va g´ en´ eraliser le r´ esultat de la partie pr´ ec´ edente, et montrer que toute homographie de b C r´ ealise une bijection de l’ensemble des cercles de b C sur lui-mˆ eme. 1. Montrer que S est un sous-groupe de H. [ S ] 2. Soit s un ´ el´ ement de S, consid´ er´ e aussi comme application de P(b C) dans lui-mˆ eme. Montrer que s r´ ealise une bijection de l’ensemble b C. [ S ] 3. Montrer que tout ´ el´ ement h = hu (avec u = (a, b, c, d)) de H est : – Ou bien une similitude directe (si c = 0), – Ou bien (si c ̸= 0) la compos´ ee de ϕ et de deux similitudes directes. Indication : montrer que h = sa′,b′ ◦ϕ ◦sc,d, avec a′ = −δ(u)/c et b′ = a/c. [ S ] 4. En d´ eduire que toute homographie h r´ ealise une bijection de b C sur lui-mˆ eme. Si h = h(a,b,c,d) est une homographie qui n’est pas une similitude (donc si c ̸= 0), d´ ecrire rapidement l’image d’une droite de b C ou d’un cercle de C selon que cette droite ou ce cercle passe ou ne passe pas par le point ω = −d/c. [ S ] Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c ⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites. Probl` emes de Math´ ematiques Homographies du plan complexe ´ Enonc´ e IV. Homographies et conservation des angles NB : ` a ce stade de l’ann´ ee en MPSI, cette partie est hors-barˆ eme. Dans cette partie, on se donne une homographie h = h(a,b,c,d). Soit γ1 : t ∈I1 7→z1(t) γ2 : t ∈I2 7→z2(t) deux arcs param´ etr´ es de C de classe C1, sans points stationnaires. On suppose que leurs supports ne contiennent pas −d/c. On peut donc en composant par h d´ eﬁnir les arcs param´ etr´ es t 7→Γ1(t) = h(z1(t)) t 7→Γ2(t) = h(z2(t)) 1. Montrer que les arcs Γ1 et Γ2 sont de classe C1 et sans points stationnaires. [ S ] 2. Soit A = z1(t1) = z2(t2) un point commun aux deux arcs param´ etr´ es γ1 et γ2. Soit B = Z1(t1) = Z2(t2) le point commun correspondant sur les arcs Γ1 et Γ2. Soit T1 et T2 les droites tangentes en A aux arcs γ1 et γ2. Soit T1 et T2 les droites tangentes en B aux arcs Γ1 et Γ2. Montrer que l’angle de droites \ (T1, T2) est ´ egal ` a l’angle de droites \ (T1, T2). On exprimera cette propri´ et´ e en ´ ecrivant qu’une homographie conserve les angles. [ S ] 3. On rappelle que deux cercles de C sont dits orthogonaux s’ils sont s´ ecants et si les deux tangentes en l’un des points d’intersection sont orthogonales. On dira qu’une droite de b C est orthogonale ` a un cercle de C si elle contient un diam` etre de ce cercle. On peut donc parler de l’orthogonalit´ e uploads/S4/ m-pt-com-jmf-04-pdf.pdf