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DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 15:33 Principes de la rédaction mathém

DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 15:33 Principes de la rédaction mathématique Ce qui se conçoit bien, s’énonce clairement Pour mieux comprendre cet adage dû à Boileau, il faut comprendre sa négation : ce qui est mal compris s’exprime mal c’est à dire "non clairement" de manière confuse. La rédaction mathématique a pour but de faire comprendre clairement au lecteur un problème mathématique. Cependant la rédaction, contrairement aux mathé- matiques, n’est pas une sciences exacte, c’est à dire que plusieurs rédactions sont possibles pour un même problème ou suivant le niveau mathématique, en effet ce qui était important pour un niveau collège pourra être rapidement énoncé pour un niveau de terminale. Un premier test pour savoir si une rédaction est bonne ou pas, consiste à faire lire votre copie par une personne de même niveau que vous. Si cette personne a le sentiment que c’est sa propre capacité de compréhension qui est en cause, votre rédaction doit être confuse. C’est en effet paradoxal mais une copie mal rédigée induit parfois chez le lecteur ce sentiment de ne pas être à la hauteur en mathématique. Par contre, si la personne auquel vous faite lire votre copie trouve que ﬁnalement la question n’était pas si compliqué que cela, votre rédaction est certainement précise et rigoureuse. Ne dit-on pas que le génie est la capacité de rendre simple ce qui est compliqué. La rédaction est toujours un compromis, car une épreuve de mathématique a tou- jours une certaine durée et que toutes choses n’ont pas nécessité à être détaillées dans les moindres détails. Il s’agit la plupart du temps de mettre en évidence un passage particulier, particulièrement important, de la résolution de la question. J’ai coutume de dire qu’une démonstration est comme une plaidoirie d’avocat, il faut argumenter, apporter les preuves, et ménager ses effets pour mettre en évidence la vérité. En général, la résolution d’une question, peut être séparée en deux parties, une suite de calculs et l’utilisation d’un théorème dont on vériﬁera que les hypothèses sont bien vériﬁées. Suivant votre niveau et celui du lecteur, on détaillera plus ou moins les calculs mais lorsque l’on utilise un théorème, il faudra toujours être scrupuleux sur les hypothèses d’application. Une suite de calculs, sans aucune phrase en français, sera pour le moins indi- geste et le lecteur se découragera vite, car aucun lien de raisonnement ne permet de comprendre où mènent tous ces calculs. Cette rédaction, qui en réalité n’en est pas une, n’aide aucunement le lecteur à comprendre ce que vous faites. Le correcteur aura le sentiment que vous ne comprenez pas la question et que cette suite de calculs n’est qu’un artiﬁce, voire du bluff, pour cacher vos doutes sur une question. PAUL MILAN 1 VERS LE SUPÉRIEUR 1. INTRODUIRE CE DONT ON PARLE Une rédaction minimaliste aura un effet un peu similaire. Car si le lecteur ne voit que le résultat d’un calcul, sans détail, il aura le sentiment qu’on veut lui faire croire quelque chose sans preuve. Il faut trouver le juste milieu, car le temps est limité, en détaillant les moments importants du calcul. Enﬁn, une rédaction ne s’improvise pas, il faut s’y être préparé, car elle mêle des automatismes qui ne s’acquièrent que par la pratique et des déﬁnitions et théorèmes qu’il faut savoir citer au bon moment et précisément. La critique est aisé et l’art est difﬁcile, mais comme dans la rédaction vous devez être votre propre critique, l’art ne sera que du plaisir. Voici quelques indications pour améliorer votre rédaction et apprendre quelques automatismes qu’il est bon de connaître. D’une façon générale, la rédaction d’une question doit comporter trois parties : • L’introduction • Le raisonnement • La conclusion 1 Introduire ce dont on parle Introduire toutes les variables utilisées, même si elles sont déﬁnies dans l’énoncé. Par exemple pour introduire un entier naturel non nul quelconque, on peut écrire : • Soit n ∈N∗ • Pour tous n ∈N∗ Si vous écrivez hors de tout contexte : "Ils sont colinéaires" qui ça "les vecteurs", quels vecteurs ? On peut, en cours de raisonnement, introduire une variable personnelle par souci de concision. Par exemple, dans l’étude d’une fonction lorsque les zéros de la dérivée ont une expression un peu longue et que l’on doit à dresser le tableau de variation : Exemple : Posons x1 = 1 + √ 21 2 et x2 = 1 − √ 21 2 2 Mettre en évidence les articulations logiques Quelques petits mots bien utile dans la rédaction : « • donc, alors, il vient, d’où, par conséquent, ainsi, • or, on sait que, de plus, en outre, ensuite, enﬁn, • mais, cependant, toutefois, puisque, comme, car, • ... » Ces petits mots vous permettent de mettre du liant dans votre raisonnement et rend la lecture plus claire. Attention toutefois à la signiﬁcation logique de ces petits mots, ils ont en effet une implication dans votre raisonnement. Exemple : Montrer que : ∀x ∈[0 ; 1], √ 1 −x2 ∈[0 ; 1]. Soit x ∈[0 ; 1] PAUL MILAN 2 VERS LE SUPÉRIEUR 3. ANNONCER CE QUE L’ON FAIT • Par croissance de la fonction carrée sur R+, on a : 0 ⩽x2 ⩽1 en conséquence 0 ⩽1 −x2 ⩽1 • Par croissance de la fonction racine carrée sur R+ : 0 ⩽ √ 1 −x2 ⩽1 En conséquence ∀x ∈[0 ; 1], √ 1 −x2 ∈[0 ; 1]. Remarque : Éviter les termes « forcément » et « obligatoirement » et remplacer-les par « nécessairement » plus mathématique et évite ainsi un passage en « force ». 3 Annoncer ce que l’on fait Rédiger correctement une question en mathématique, c’est aussi expliquer ce que l’on fait. Annoncer la méthode de résolution au début de la question : "Montrons que...", "Démontrons par récurrence ...", "Montrons par l’absurde que ...", "Il ne reste plus qu’à montrer que...", etc. Votre travail n’en sera que plus compréhensible. 4 Citer une déﬁnition ou un théorème Citer une déﬁnition ou un théorème doit se faire avec précision . Il faut donner clairement et sans faute les hypothèses, les notations et la conclusion. Un théo- rème mal rédigé, imprécis, une hypothèse omise tout cela donne une impression de manque de rigueur et peut mener à une conclusion erronée. Exemple : Déﬁnir le nombre dérivé d’une fonction en un point. Réponse incorrecte : Le nombre dérivé de f en a est : f ′(a) = lim h→0 f (a + h) −f (a) h . Manque de précision. Qui sont f et a ? Pourquoi la limite du taux d’accroissement existe-t-elle ? Réponse correcte : Soit une fonction f déﬁnie sur un intervalle I. Soit a ∈I On dit que f est dérivable en a si, et seulement si, la limite lim h→0 f (a + h) −f (a) h existe et est ﬁnie. On appelle dans ce cas, nombre dérivé de f en a cette limite, que l’on note f ′(a) = lim h→0 f (a + h) −f (a) h . Exemple : Soit la fonction f déﬁnie sur R par : f (x) = x3 + x −1. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution sur R. Réponse incorrecte : f (0) = −1 et f (1) = 1 donc la fonction f change de signe, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R. Quelles sont les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires ? Pourquoi cette solution est-elle unique ? Réponse correcte : La fonction cube et la fonction afﬁne x 7→x −1 sont deux fonctions déﬁnies et croissantes sur R. La fonction f est continue sur R car f est un polynôme. f (0) = −1 et f (1) = 1 donc la fonction f change de signe sur R La fonction f est continue, monotone, et change de signe sur R donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α ∈[0 ; 1] sur R. PAUL MILAN 3 VERS LE SUPÉRIEUR 5. PAS DE MÉLANGE DES GENRES 5 Pas de mélange des genres Écrire en français ou en mathématique mais pas les deux à la fois. Ne pas remplacer, dans une phrase en français, les expressions : "il existe" par le symbole ∃et "pour tout" par le symbole ∀. Écrire "la somme de deux entiers est un entier" ou ∀m, n ∈Z, m + n ∈Z mais pas "∀m, n ∈Z, la somme de m et n est un entier" Le mélange autorisé le plus courant concerne le symbole ∈, comme dans "Soit x ∈E" qui peut remplacer "Soit x un élément de E". 6 Faire la différence entre f et f(x) Rédaction incorrecte : "La fonction x x2 + 1 est dérivable sur R" Rédaction correcte : "La fonction x 7→ x x2 + 1 est dérivable sur R" En effet x x2 + 1 n’est pas une fonction mais une expression algébrique. Une fonction est une uploads/Finance/ 00-principes-de-la-redaction-mathematique.pdf