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Examen de Modélisation microéconomique Master 1, Ingéniérie Economique Session

Examen de Modélisation microéconomique Master 1, Ingéniérie Economique Session de janvier 2004-2005 ECONOMIE D’ECHANGE PURE Conseil : l’exercice comporte des questions de cours, à traiter avec soin. On considère une économie d’échange pur avec deux biens et deux consom- mateurs. Les utilités des consommateurs 1 et 2 sont respectivement : U1 = (x11)1/3 (x12)2/3 U2 = 2 log x21 3 + log x22 3 où xik désigne la consommation du consommateur i en bien k. On suppose qu’une unité de chacun des biens est disponible dans l’économie. PARTIE I : ETATS OPTIMAUX 1) Déﬁnir les notions d’état possible et d’état optimal au sens de Pareto. 2) Calculer les taux marginaux de substitution du bien 2 au bien 1 pour les deux consommateurs (notés TMSi 21, pour le consommateur i). 3) Si l’état (x11◦, x12◦, x21◦, x22◦) est un état optimal, quelle condition sur les taux marginaux de substitution vériﬁe-t-il ? 4) Déterminer l’ensemble des états optimaux au sens de Pareto. (vous ré- soudrez ici un système de 3 équations, pour exprimer x12 en fonction de x11) 5) Etudier le résultat obtenu à la question précédente (points particuliers, sens de variation et convexité/concavité), aﬁn de faire la représentation graphique de cet ensemble dans la boîte d’Edgeworth. PARTIE II : Equilibre des consommateurs 6) En notant p1, p2 les prix des biens 1 et 2 respectivement, et R1, R2 les revenus des consommateurs 1 et 2 respectivement, écrire les contraintes de budget et déterminer les fonctions de demande des deux consommateurs. 1 7) Rappeler les propriétés théoriques des fonctions de demande. Présenter graphiquement la décomposition des eﬀets de substitution et de revenu. 8) Etudier les fonctions de demande des deux consommateurs dans l’esprit de la question précédente. PARTIE III : EQUILIBRE GENERAL On suppose pour la suite que, avant l’échange, chaque consommateur possède 1/2 unité de chaque bien. On rappelle que, dans une économie d’échange pure, le revenu des consommateurs est donné par la valeur de sa dotation initiale. 9) Déﬁnir la notion d’équilibre de marché dans une économie d’échange pure. 10) Si l’état (p1◦, p2◦, x11◦, x12◦, x21◦, x22◦) est un équilibre de marché, quelles conditions vériﬁe-t-il ? (vous écrirez ici un système de 6 équations) 11) Déterminer l’équilibre de marché de cette économie d’échange pur. La solution de ce système lié est p1 = p2. 2 Contrôle continu de Modélisation microéconomique Master 1, Ingéniérie Economique 1ère épreuve Exercice : Echange entre un consommateur et deux ﬁrmes. On considère une économie dans laquelle il y a un consommateur et deux en- treprises utilisant le travail de cet agent. La fonction d’utilité du consommateur est : U = 2√x1x2, où x1 et x2 sont les quantités consommées de biens 1 et 2 respectivement. L’oﬀre totale de travail fournie par le consommateur est inélastique et égale à L. Les entreprises ont pour fonction de production respectives : y1 = p L1, y2 = 2 p L2, L1 et L2 étant respectivement les quantités de travail oﬀertes à l’entreprise 1 et à l’entreprise 2 par le consommateur. On note w le prix du travail, p1 et p2 les prix des biens 1 et 2. 1) En notant R le revenu du consommateur, déterminer les fonctions de de- mande du consommateur pour les biens 1 et 2, notées D1 (p1, p2, R) et D2 (p1, p2, R) respectivement. 2) Déterminer la fonction d’oﬀre d’output de l’entreprise 1, notée O1 (p1, p2, w), et la fonction de demande de travail de l’entreprise 1, notée F1 (p1, p2, w). 3) Même question pour l’entreprise 2, en notant O2 (p1, p2, w) et F2 (p1, p2, w) respectivement. 4) En supposant que w = 1, déterminer les prix d’équilibre sur les marchés des biens en fonction de R et w. 5) Déterminer alors le revenue R équilibre le marché du travail et induisant donc un équilibre général des marchés. 6) En notant E∗= (p∗ 1, p∗ 2, x∗ 1, x∗ 2, y∗ 1, y∗ 2, L∗ 1, L∗ 2) cet équilibre général, mon- trer que E∗est un état optimal de l’économie. 7 Contrôle continu de Modélisation microéconomique Master 1, Ingéniérie Economique 2ème épreuve 2005-2006 Exercice 1 : On considère le marché du bien X. La demande du bien est : P (x) = 2 −x où x est la quantité totale oﬀerte. Les technologies des entreprises 1 et 2 sont données par leur fonction de coût : C1 (x1) = x1 + F C2 (x2) = (x2)2 1) Si seule l’entreprise 1 oﬀre le bien, déterminer l’équilibre du marché. Déterminer la valeur limite de F, au-dessus de laquelle le marché n’est pas servi. 2) Si les deux entreprises oﬀrent le bien, déterminer l’équilibre du marché si les deux entreprises se livrent : a) une concurrence en quantité : déterminer les fonctions de réaction ; en faire la représentation ; en déduire l’équilibre de Cournot ; donner les valeurs correspondantes ; b) une concurrence en prix : déterminer les demandes addressées aux entreprises 1 et 2, en supposant que les biens sont parfaitement substituables et qu’en cas d’égalité des prix, chaque entreprise obtient la moitié du marché ; montrer que p1 = p2 = 1 est un équilibre, en supposant que F = 0. 11 Contrôle continu de Modélisation microéconomique Master 1, Ingéniérie Economique 1-ière épreuve 2006-2007 Questions de cours : 1) Déﬁnir les notions suivantes : a) Le taux marginal de substitution du bien 1 par le bien 2 ; b) Un équilibre d’une entreprise. 2) Interpréter le théorème suivant : Second théorème de l’économie du bien-être (cas d’une économie d’échange pure) : Si E0 est un état possible, s’il existe des prix pk > 0 (k = 1, 2, ..., K) tels que, pour tout i = 1, 2, ..., I, x0 i maximise U i (xi) sous la contrainte budgétaire p · xi 6 p · x0 i , alors E0 est un état optimal au sens de Pareto (sous certaines conditions sur les ensembles de consommation et sur les préférences). Exercice : On considère une économie d’échange pure, composée de 2 consommateurs (indicés i = 1, 2) et K biens (indicés k = 1, ..., K). Les dotations initiales de chaque bien sont wk = 1 (k = 1, ..., K). On note pk les prix des biens (k = 1, ..., K). Les fonctions d’utilité des consommateurs 1 et 2 sont respectivement : U 1 = PK k=1 ln (x1k) U 2 = PK k=1 ak ln (x2k) avec : PK k=1 ak = K. 1) En notant R1 et R2 les revenus des consommateurs 1 et 2 respectivement, déterminer les fonctions de demande dik (p, Ri) des consommateurs (i = 1, 2 et k = 1, ..., K). 2) On se place dans le cas particulier où K = 2. Etudier, par le calcul et graphiquement, les eﬀets revenus et substitution, pour le cas du consommateur 1, quand R1 = 2 et quand les états initial et ﬁnal sont p1 = p2 = 1 et p1 = p2/4 = 1 respectivement. Pour cela, on déterminera le revenu compensé R0 1 du consommateur (rappel : le revenu compensé est, par déﬁnition, le revenu tel qu’à l’équilibre, le consommateur a la même utilité dans l’état ﬁnal que dans l’état initial). 15 3) En revenant au cas général (K biens), on suppose qu’avant l’échange, chaque consommateur possède la moitié de la dotation initiale, soit wik = 1/2 (i = 1, 2 et k = 1, ..., K). En prenant comme numéraire de l’économie le bien 1 (soit p1 = 1), déterminer les prix d’équilibre du marché (le résultat exprime le prix pk en fonction des coeﬃcients a1 et ak, pour tout k). (On rappelle que, dans une économie de propriété privée, le revenu des consommateurs est donné par la valeur de leur dotation initiale sur le marché.) 16 Contrôle continu de Modélisation microéconomique Master 1, Ingéniérie Economique 2-ième épreuve 2006-2007 Questions de cours : 1) Commenter cette ﬁgure : 2) Déﬁnir : a) La recette totale du monopole ; b) Le surplus des consommateurs. 20 Exercice : On considère le marché du bien 1, isolément du reste de l’économie, sur lequel interviennent 20 consommateurs et qui est approvisionné par une unique entreprise. Les consommateurs peuvent être de deux types, un type 1 ayant une fonction d’utilité U1 (m, x) = m + (1 −5x) x, et un type 2 ayant une fonction d’utilité U 2 (m, x) = m + (1 −10x) x, où m représente la consommation du numéraire et x la consommation du bien 1 par le consommateur. L’entreprise est caractérisée par sa fonction de coût C (y) = y/2. 1) Etude de la demande des consommateurs de type 1 : a) Montrer que la fonction de demande inverse d’un consommateur de type 1 a pour expression p1 (x) = 1 −10x. b) En déduire que la fonction de demande inverse agrégée des 10 con- sommateurs de type 1 s’écrit P1 (x) = 1 −x. On admettra pour la suite que les fonctions de uploads/Finance/ a-microeco-m1ie.pdf