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Approximations de la racine carrée de deux La racine carrée de 2, notée √2, est

Approximations de la racine carrée de deux La racine carrée de 2, notée √2, est le nombre positif dont le carré est 2 : (√2)2 = 2. D’un point de vue géométrique cela signifie qu’un carré d’aire 2 a pour côté √2. Aujourd’hui, avec la plupart des calculatrices, il est facile d’obtenir une valeur approchée de ce nombre avec une bonne précision. Mais les constructeurs de ces machines n’indiquent pas comment cette valeur a été calculée. Nous commencerons donc par expliquer des méthodes pour approximer √2. Partie 1A En utilisant la règle graduée À partir d’un quadrillage de côté 1 cm on construit le quadrilatère ABCD comme indiqué sur la figure ci-dessous. 1°) Expliquer pourquoi ABCD est un carré. 2°) a) Calculer l’aire de ce carré. b) En déduire la longueur de son côté. 3°) a) Construire un carré de ce quadrillage à l’échelle 5:1. b) Mesurer sa diagonale au mm près. c) En déduire une valeur approchée du nombre √2. 4°) Déterminer une autre valeur approchée en faisant une construction à l’échelle 12:1. Partie 1B Les limites de l’utilisation d’un dessin à l’échelle Le carré de côté c cm est une représentation à l’échelle c:1 du carré de côté 1 cm. Le nombre √2 exprime donc le rapport de la longueur d de la diagonale d’un carré à la longueur c du côté de ce carré : √2 = d /c. 1°) On a mesuré, au mm près, la diagonale d’un carré de 1 m de côté. Quelle est la précision de la valeur approchée de √2 obtenue ? 2°) Quelle est la longueur du côté du carré qu’il faudrait construire (au mm près) pour obtenir une valeur approchée de √2 au millionième près ? Partie 1C Un encadrement par deux fractions On considère les fractions a = 7/5 et b = 17/12. 1°) Calculer a2 et b2. 2°) Des fractions a et b, quelle est la meilleure valeur approchée de √2 ? 3°) Encadrer le nombre √2 par ces deux fractions. Partie 2 Par dichotomie À partir de deux nombres a et b tels que a < √2 < b on suit les étapes du programme suivant : étape 1 : On choisit un nombre m compris entre a et b. étape 2 : On calcule m2. étape 3 : Si m2 > 2 on remplace b par m. Sinon on remplace a par m. On répète ensuite le programme avec les nouvelles valeurs de a et b ainsi obtenues. À chaque fois on obtient un encadrement plus précis de √2. 1°) Quelles valeurs de a et b peut-on choisir pour commencer ? 2°) Quelle valeur de m est-il plus judicieux de choisir à l’étape 1 ? Pourquoi ? Comment calcule-t-on cette valeur à partir de a et b ? 3°) Rassembler dans un tableau les résultats des 5 premières itérations. 4°) Construire un script qui donne les résultats des 25 premières itérations. Ce script devra comporter une boucle. 5°) Rechercher dans un dictionnaire les définitions du mot dichotomie ainsi que son étymologie. Partie 3A L’algorithme de Théon de Smyrne (*) Théon de Smyrne était un philosophe qui vécut au Ier siècle de notre ère. Son algorithme repose sur un programme de calcul effectué à partir d’un nombre x : étape 1 : Ajouter 1 à x. étape 2 : Ajouter 2 à x. étape 3 : Diviser la somme de l’étape 2 par celle de l’étape 1. On calcule le résultat du programme en prenant au départ x = x0 = 1. Avec ce résultat on recommence le programme, et ainsi de suite. Les résultats successifs sont notés x1, x2, x3, etc. Ils se rapprochent de √2. 1°) Calculer x1, x2 et x3. 2°) a) Exprimer le résultat du programme en fonction de x. b) La touche ANS (ou REP) de la calculatrice permet de rappeler le dernier résultat obtenu et de le réutiliser pour effectuer d’autres calculs. Quelle séquence de touches peut-on alors taper pour obtenir les valeurs xi ? 3°) Écrire un script qui calcule la valeur xn, l’indice n étant choisi par l’utilisateur. d c Approximations de la racine carrée de deux Partie 3B Variante (*) Cette variante est basée sur un programme de calcul effectué à partir d’une fraction : étape 1 : On ajoute son numérateur au double de son dénominateur. étape 2 : On calcule la somme de son numérateur et de son dénominateur. On commence avec la fraction de numérateur 1 et de dénominateur 1. Les résultats des étapes 1 et 2 fournissent alors respectivement le numérateur et le dénominateur d’une autre fraction avec laquelle on répète le programme, et ainsi de suite. Les valeurs décimales de ces fractions sont celles déjà trouvées à la partie 3A. 1°) Calculer à la main les trois premières fractions obtenues par cette méthode. 2°) On utilise un tableur pour calculer les fractions suivantes. Pour cela on affecte la valeur 1 aux cellules A2, B2 et C2 puis on entre la formule B2 + 2*C2 dans la cellule B3 (voir étape 1). Quelles formules faut-il ensuite saisir dans les cellules C3, D2 et A3 ? 3°) a) Recopier la formule A3 vers le bas. b) Pourquoi ne peut-on calculer directement les valeurs des colonnes B et C qu’en recopiant simultanément les formules B3 et C3 vers le bas ? c) Étendre la formule D2 vers le bas et afficher les résultats avec 15 décimales. (*) Voir La diagonale du carré (chapitre 14 du rapport Pour une culture mathématique accessible à tous) sur le portail de l’enseignement en fédération Wallonie-Bruxelles. (**) Cette méthode permet en fait de calculer des valeurs approchées de n’importe quelle racine carrée. Pour cela il suffit de remplacer à l’étape 1 le nombre 2 par celui dont on veut la racine. Partie 4A La méthode de Héron (**) Héron d'Alexandrie était un mathématicien grec du Ier siècle de notre ère. Cette méthode figure dans le tome I de son ouvrage Metrica. Elle est basée sur un programme de calcul effectué à partir d’un nombre x : étape 1 : Diviser 2 par x. étape 2 : Ajouter x. étape 3 : Prendre la moitié de la somme obtenue. On calcule le résultat du programme en prenant au départ x = x0 = 2. Avec ce résultat on recommence le programme, et ainsi de suite. Les résultats successifs sont notés x1, x2, x3, etc. Ils se rapprochent très vite de √2. 1°) Calculer à la main x1, x2 et x3. Donner les résultats sous la forme d’une fraction irréductible. 2°) a) Exprimer le résultat du programme en fonction de x. b) La touche ANS (ou REP) de la calculatrice permet de rappeler le dernier résultat obtenu et de le réutiliser pour effectuer d’autres calculs. Quelle séquence de touches peut-on alors taper pour obtenir les valeurs xi ? Partie 4B Approche géométrique de la méthode de Héron En partant du rectangle de longueur 2 cm et de largeur 1 cm, on construit d’autres rectangles qui ont tous une aire égale à 2 cm2 : étape 1 : La longueur d’un nouveau rectangle est égale à la moyenne des dimensions du rectangle précédent. étape 2 : On calcule la largeur que doit avoir ce nouveau rectangle pour que son aire soit égale à 2. Avec ce nouveau rectangle on recommence alors ces deux calculs, et ainsi de suite. Les rectangles obtenus se rapprochent du carré d’aire 2. 1°) Construire le premier rectangle à l’échelle 10:1. 2°) Calculer les dimensions des deux rectangles suivants sous la forme d’une fraction irréductible. Construire ces rectangles à la même échelle. 3°) a) On note x la longueur d’un des rectangles obtenus par ce procédé. Exprimer la longueur du rectangle suivant en fonction de x. b) À quoi correspondent les calculs du programme de la partie 4A ? B3 ▾ = B2 + 2*C2 ☷ A B C D 1 fraction n° numérateur dénominateur quotient 2 1 1 1 3 2 3 4 3 5 4 Approximations de la racine carrée de deux Partie 5 La tablette YBC 7289 Sur cette tablette babylonienne, vieille de plus de 4000 ans, on trouve un carré et ses diagonales, ainsi que quelques marques. Ces marques correspondent à des valeurs écrites en numération babylonienne (base 60). Les trois inscriptions en haut à gauche signifient que le côté du carré vaut 30. Les autres correspondent à 1 ; 24 ; 51 et 10, puis à 42 ; 25 et 35 : 1°) Calculer la longueur d de la diagonale d’un carré de côté 30. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au millionième près. 2°) Les nombres a et b ci-dessous, définis à partir des inscriptions de la tablette, sont respectivement des valeurs approchées de √2 et de la longueur d : a) Vérifier que a diffère de √2 de moins d’un millionième. b) Donner un ordre de grandeur de la différence entre b et d. La tablette ne contient aucun énoncé, mais celui-ci aurait donc pu être : « Un carré de uploads/Finance/ approximations-de-la-racine-carree-de-deux-partie-2-par-dichotomie.pdf