Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jou

Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21 BANQUE ANALYSE EXERCICE 1 analyse Énoncé exercice 1 1. On considère deux suites numériques (un)n∈N et (vn)n∈N telles que (vn)n∈N est non nulle à partir d’un certain rang et un ∼ +∞vn. Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang. 2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh  1 n  −tan  1 n  . Corrigé exercice 1 1. Par hypothèse, ∃N0 ∈N/∀n ∈N, n ⩾N0 = ⇒vn ̸= 0. Ainsi la suite un vn  est définie à partir du rang N0. De plus, comme un ∼ +∞vn, on a lim n→+∞ un vn = 1. Alors, ∀ε > 0, ∃N ∈N/N ⩾N0 et ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒ un vn −1 ⩽ε. (1) Prenons ε = 1 2. Fixons un entier N vérifiant (1). Ainsi, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒ un vn −1 ⩽1 2. C’est-à-dire, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒−1 2 ⩽un vn −1 ⩽1 2. On en déduit que ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒un vn ⩾1 2. Et donc, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒un vn > 0. Ce qui implique que un et vn sont de même signe à partir du rang N. 2. Au voisinage de +∞, sh( 1 n) = 1 n + 1 6n3 + o  1 n3  et tan 1 n = 1 n + 1 3n3 + o  1 n3  . Donc un ∼ +∞−1 6n3 . On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang, un est négatif. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4 Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21 EXERCICE 2 analyse Énoncé exercice 2 On pose f(x) = 3x + 7 (x + 1)2 . 1. Décomposer f(x) en éléments simples. 2. En déduire que f est développable en série entière sur un intervalle du type ]−r, r[ (où r > 0). Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validité D de ce développement en série entière. 3. (a) Soit P anxn une série entière de rayon R > 0. On pose, pour tout x ∈]−R, R[, g(x) = +∞ X n=0 anxn. Exprimer, pour tout entier p, en le prouvant, ap en fonction de g(p)(0). (b) En déduire le développement limité de f à l’ordre 3 au voisinage de 0. Corrigé exercice 2 1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : f(x) = 3 x + 1 + 4 (x + 1)2 . 2. D’après le cours, x 7− → 1 x + 1 et x 7− → 1 (x + 1)2 sont développables en série entière à l’origine. De plus, on a ∀x ∈]−1, 1[, 1 1 + x = +∞ P n=0 (−1)nxn. Et, ∀x ∈]−1, 1[, 1 (1 + x)2 = +∞ P n=1 (−1)n+1nxn−1 ( obtenu par dérivation du développement précédent). On en déduit que f est développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en série entière. Et ∀x ∈]−1, 1[, f(x) = 3 +∞ P n=0 (−1)nxn + 4 +∞ P n=0 (−1)n(n + 1)xn. C’est-à-dire : ∀x ∈]−1, 1[, f(x) = +∞ X n=0 (4n + 7)(−1)nxn. Notons D le domaine de validité du développement en série entière de f. D’après ce qui précéde, ]−1, 1[ ⊂D. Notons R le rayon de convergence de la série entière X (4n + 7)(−1)nxn. D’après ce qui précéde R ⩾1. Posons, pour tout entier naturel n, an = (4n + 7)(−1)n. Pour x = 1 et x = −1, lim n→+∞|anxn| = +∞donc X (4n + 7)(−1)nxn diverge grossièrement. Donc R ⩽1, 1 ̸∈D et −1 ̸∈D. On en déduit que D = ]−1, 1[. 3. (a) Soit P anxn une série entière de rayon R > 0. On pose, pour tout x ∈]−R, R[, g(x) = +∞ X n=0 anxn. D’après le cours, g est de classe C∞sur ]−R, R[. De plus, ∀x ∈]−R, R[, g′(x) = +∞ X n=1 nanxn−1 = +∞ X n=0 (n + 1)an+1xn g′′(x) = +∞ X n=1 n(n + 1)an+1xn−1 = +∞ X n=0 (n + 1)(n + 2)an+2xn. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5 Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21 EXERCICE 3 analyse Énoncé exercice 3 1. On pose g(x) = e2x et h(x) = 1 1 + x. Calculer, pour tout entier naturel k, la dérivée d’ordre k des fonctions g et h sur leurs ensembles de définitions respectifs. 2. On pose f(x) = e2x 1 + x. En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivée nième d’un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel n et pour tout x ∈R\ {−1}, la valeur de f (n)(x). 3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente. Corrigé exercice 3 1. g est de classe C∞sur R et h est de classe C∞sur R\ {−1}. On prouve, par récurrence, que : ∀x ∈R, g(k)(x) = 2ke2x et ∀x ∈R\ {−1}, h(k)(x) = (−1)kk! (1 + x)k+1 . 2. g et h sont de classe C∞sur R\ {−1} donc, d’après la formule de Leibniz, f est de classe C∞sur R\ {−1} et ∀x ∈R\ {−1} : f (n)(x) = n X k=0 n k  g(n−k)(x)h(k)(x) = n X k=0 n k  2n−ke2x (−1)kk! (1 + x)k+1 = n!e2x n X k=0 (−1)k2n−k (n −k)!(1 + x)k+1 . 3. Notons (Pn) la propriété : Si f : I →R et g : I →R sont n fois dérivables sur I alors, fg est n fois dérivable sur I et : ∀x ∈I, (fg)(n)(x) = n X k=0 n k  f (n−k)(x)g(k)(x). Prouvons que (Pn) est vraie par récurrence sur n. La propriété est vraie pour n = 0 et pour n = 1 (dérivée d’un produit). Supposons la propriété vraie au rang n ⩾0. Soit f : I →R et g : I →R deux fonctions n + 1 fois dérivables sur I. Les fonctions f et g sont, en particulier, n fois dérivables sur I et donc par hypothèse de récurrence la fonction fg l’est aussi avec ∀x ∈I, (fg)(n)(x) = n X k=0 n k  f (n−k)(x)g(k)(x). Pour tout k ∈{0, . . . , n}, les fonctions f (n−k) et g(k) sont dérivables sur I donc par opération sur les fonctions dérivables, la fonction (fg)(n) est encore dérivable sur I. Ainsi la fonction fg est (n + 1) fois dérivable et : ∀x ∈I,(fg)(n+1)(x) = n X k=0 n k   f (n+1−k)(x)g(k)(x) + f (n−k)(x)g(k+1)(x)  . En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d’indice sur la deuxième somme, on obtient : ∀x ∈I, (fg)(n+1)(x) = n X k=0 n k  f (n+1−k)(x)g(k)(x) + n+1 X k=1  n k −1  f (n+1−k)(x)g(k)(x). C’est-à-dire (fg)(n+1)(x) = n X k=1 n k  +  n k −1  f (n+1−k)(x)g(k)(x) + n 0  f (n+1)(x)g(0)(x) + n n  f (0)(x)g(n+1)(x). Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a n k  +  n k −1  = n + 1 k  . On remarque également que n 0  = 1 = n + 1 0  et n n  = 1 = n + 1 n + 1  . On en déduit que (fg)(n+1)(x) = n+1 X k=0 n + 1 k  f (n+1−k)(x)g(k)(x). Donc (Pn+1) est vraie. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 7 Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21 EXERCICE 4 analyse Énoncé exercice 4 1. Énoncer le théorème des accroissements finis. 2. Soit f : [a, b] − →R et soit x0 ∈]a, b[. On suppose que f est continue sur [a, b] et que f est dérivable sur ]a, x0[ et sur ]x0, b[. Démontrer que, si f ′ admet une limite finie en x0, alors f est dérivable en x0 et f ′(x0) = lim x→x0 f ′(x). 3. Prouver que l’implication : ( f est dérivable en x0) = ⇒(f ′ admet une limite finie en x0) est fausse. Indication : on pourra considérer la fonction g définie par : g(x) = x2 sin 1 x si x ̸= 0 et g(0) = 0. Corrigé exercice 4 1. Théorème des accroissements finis : Soit f : [a, b] − →R. On suppose que f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors ∃c ∈]a, b[ tel que f(b) −f(a) = f ′(c)(b −a). 2. On pose l = lim x→x0 f ′(x). Soit h ̸= 0 tel que x0 + h ∈[a, b]. En appliquant le théorème des accroissements finis, à la fonction f, entre x0 et x0 + h, on peut affirmer uploads/Finance/ banque-finale-enonce-2022.pdf

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• Détails
• Publié le Mar 17, 2021
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
• Taille du fichier 1.0428MB