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Chapitre 3 : Statique 3.0 INTRODUCTION La mécanique rationnelle ou théorique, e

Chapitre 3 : Statique 3.0 INTRODUCTION La mécanique rationnelle ou théorique, est une science qui étudie le mouvement de la matière sous sa forme la plus simple. C’est une science qui traite des lois générales régissant le mouvement mécanique et l’état d’équilibre des corps ou des parties de corps matériels. Par mouvement de la matière on entend, tous les changements qui se produisent pendant les processus thermiques, chimiques, électromagnétiques, intra-atomiques et autres. La mécanique rationnelle se borne à considérer la forme la plus élémentaire du mouvement, à savoir : Le mouvement mécanique. Par mouvement mécanique, on entend le changement de position relative des corps matériels qui se produit dans le cours du temps. Puisque l’état d’équilibre (statique, fixe, stable) n’est qu’un cas particulier du mouvement, la mécanique rationnelle se donne aussi comme objet l’étude de l’équilibre des corps matériels. La mécanique rationnelle utilise des simplifications, et des abstractions utiles, qui seront introduites pour examiner la question sur le plan théorique et de dégager la solution par les moyens les plus faciles. Le présent cours a pour objet la mécanique classique, c’est à dire une mécanique fondée sur des lois connues dont les premiers énoncés remontent à Galilée (1564-1642) et à Newton (1643-1727). Vers la fin du 19eme siècle et au début du 20eme siècle, les chercheurs ont constaté que les lois de la mécanique classique cessent d’être applicables au mouvement des particules microscopiques et des corps dés que leurs vitesses deviennent proches de celle de la vitesse de la lumière. Le début du 20eme siècle marque l’apparition de la mécanique relativiste, qui a pour base la théorie de la relativité développée par A. Einstein (1879-1955). Cette théorie a précisé les limites de la validité des lois de la mécanique classique en établissant des relations quantitatives rigoureuses entre l’espace, le temps, la masse et l’énergie. Comme les autres sciences de la nature, la mécanique rationnelle utilise beaucoup les abstractions. La méthode des abstractions, jointe à la généralisation des résultats de l’observation immédiate, de la production et de l’expérience, permet de dégager quelques concepts premiers qui se posent en axiomes. Tous les développements de la mécanique classique se déduisent de ces axiomes par voie de raisonnement logique et de calcul mathématique. 3.1 AXIOMES DE LA STATIQUE La méthode des abstractions et la généralisation de l’expérience accumulée pendant des siècles d’observation immédiate et d’activité pratique des hommes ont permis de dégager certains lois générales de la statique. Ces lois s’appellent axiomes. Tous les développements ultérieurs de la statique élémentaire se déduisent des axiomes par raisonnement mathématique. Axiome 1 : Pour que deux forces appliquées à un solide parfait se trouvent en équilibre, il faut et il suffit qu’elles soient de module égal, de sens contraire et soient portées par la droite joignant leurs points d’application (Figure 3.1). Figure 3.1 Axiome 2 : Au système de forces appliqué à un solide parfait, on peut ajouter ou retrancher n’importe quel système de forces équilibré sans que l’effet du premier système s’en trouve modifie. Axiome 3 : Les forces exercées par deux solides l’un sur l’autre sont toujours de même module, de même direction et de sens opposé (Principe de l’action et de la réaction). Axiome 4 : Si un système de force donné est équilibré sur un solide, il reste équilibré aussi sur tout autre solide. (Les dimensions et la forme du solide ne jouent aucun rôle dans la statique du solide parfait) Axiome 5 : Si un corps déformable se trouve en équilibre, il le reste aussi après la solidification (Principe de solidification). Axiome 6 : La résultante de deus forces appliquées à un même point du solide a son point d’application en ce même point ; son module et sa direction sont déterminés par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces (Règle du parallélogramme). 3.2 LIAISONS, APPUIS ET REACTIONS 3.2.1 Définition Les solides considérés en mécanique peuvent être libres ou liés, suivant le cas. Un solide est dit libre s’il peut se déplacer en toute direction, par exemple une pierre lancée dans l’espace est un solide libre. Un solide est dit lié s’il ne peut se déplacer que dans des directions déterminées ou s’il est assujetti à rester immobile. Les corps matériels qui s’opposent au mouvement du solide sont appelés liaisons et les forces qu’ils exercent sur le solide, sont des réactions de liaisons. 1 F  2 F  A B 3.2.2 Différents types des liaisons et de réactions Les liaisons peuvent être matérialisées soit par des appuis, articulations, encastrements, …etc. Dans les cas énumérés sont confectionnées à partir d’un matériau absolument rigide, et à partir que le frottement, aux points de contact avec les solides considérés, est considéré négligeable. a) Liaison libre Cette liaison est en fait une absence de liaison, le solide est « livré à lui même » (cas d’un satellite dans l’espace, ou d’un projectile). Il existe six degrés de liberté et aucun effort de contact transmis (pas de réaction). b) Liaison ponctuelle et appui plan (appui simple) Pour un solide repose simplement sur une surface polie (horizontale, verticale ou inclinée) Figure 3.2 (a, b) ou sur le rouleau cylindrique Figure 3.2c, la réaction de la surface est appliquée au solide en point de contact et dirigée suivant la normale à la surface d’appui. Elle s’appelle réaction normale et se note R . Figure 3.2a Figure 3.2b Figure 3.2c c) Solides articulés (Appuis doubles) Dans la pratique, on trouve parfois le corps solide articulé soit par : - un appui articulé (Figure 3.3a), - une articulation cylindrique (liaison pivot glissant, liaison linéaire annulaire) (Figure 3.3b), - ou une articulation sphérique (liaison rotule) (Figure 3.3c). Le module et la direction de la réaction R dans son plan sont inconnus Figure 3.3a Figure 3.3b Figure 3.3c R R A R A B B R R y x  R y x  O A R R y x  z d) Barres rigides Les barres de poids négligeables peuvent servir comme des liaisons. Leur réaction sera dirigée suivant la longueur de celle-ci (Figure 3.4). Figure 3.4 e) Liaison flexible (fil, corde, chaîne) (Figure 3.5) La réaction T porte le nom de tension. Elle est appliquée au point d’attache du lien flexible au solide, dirigée le long de la liaison flexible (du fil, de la corde, de la chaîne, etc…..). Figure 3.5a Figure 3.5b f) Liaison Encastrement (Figure 3.6) La liaison encastrement ne permet aucun mouvement relatif entre les deux solides. Leurs réactions sont représentées par un moment qui empêche la rotation du solide, et des réactions horizontale et verticale, qui empêchent les déplacements horizontaux et verticaux. Figure 3.6a Figure 3.6b A M MA AX R AY R R (S) Barre rigide Chaîne P A B C D P A B T C D T Consol Encastrement A 3.3 AXIOME DES LIAISONS Pour tout corps solide lié (Figure 3.6a), il est possible de supprimer les liaisons en les remplaçant par les réactions et, de lui considérer comme un corps solide libre (Figure 3.6b) soumis à l’action des forces données et des réactions de liaisons. Figure 3.6a. Corps solide lié Figure 3.6b. Corps solide libre 3.4. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT Soit une force F  et un point O (Figure 3.7). Menons par O un plan contenant F  . Abaissons de O une perpendiculaire OP sur la direction AB de la force F  . La longueur de la perpendiculaire est le bras de levier h de la force F  par rapport au point O ; ce point s’appelle pôle. Figure 3.7a Figure 3.7b Figure 3.7 Moment d’une force par rapport à un point A B F  O h P A B F  O h C  P ) F ( Mo   Corde Plan incliné Encastrement Poutre C A B D A M AX R AY R B T C R D C A Le moment de F  par rapport à O est le produit du module F du vecteur de la force F  par le bras de levier h, qui peut être affecté de signe positif ou négatif. h F ) F ( Mo   (3.1) 0 ) F ( Mo  si la force fait tourner le plan dans le sens contraire à celui des aiguilles d’une montre. 0 ) F ( Mo  si la force fait tourner le plan dans le sens des aiguilles d’une montre. La valeur absolue du moment d’une force est le double de l’aire du triangle OAB construit sur la force F  et le pôle O ou l’aire du parallélogramme OABC (Figure 3.7b). OAB O S 2 h F ) F ( M   où : F r sin r F sin OA F h F ) F ( MO        d’où F r ) F ( MO   (3.2) Le vecteur moment ) F ( Mo   est égal en module à l’aire du parallélogramme construit sur les uploads/Finance/ chapitre-3-statique.pdf