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Traitement d’images par approches variationnelles et équations aux dérivées par

Traitement d’images par approches variationnelles et équations aux dérivées partielles Jean-François Aujol CMLA, ENS Cachan, CNRS, PRES UniverSud, 61 Avenue du President Wilson, F-94230 Cachan, FRANCE Email : Jean-Francois.Aujol@cmla.ens-cachan.fr http ://www.cmla.ens-cachan.fr/∼aujol/ Semestre d’enseignement UNESCO sur le traitement des images numériques TUNIS, ENIT du 11 au 16 Avril 2005 Table des matières 1 . Introduction 5 1.1 Du continu au discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Matlab et les images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Exemples : visualisation d’une image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Remarques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Un premier exemple de fonction Matlab : bruitage d’une image . . . . . . 6 1.3 Conditions de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Consistence, stabilité, convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Diﬀérences ﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1 Diﬀérences ﬁnies centrées : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Diﬀérences ﬁnies décentrées à droite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.3 Diﬀérences ﬁnies décentrées à gauche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Schéma ENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 . Equation de la chaleur : ﬁltrage linéaire et non linéaire 11 2.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Peronna-Malik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Amélioration : convolution du gradient par une gaussienne . . . . . . . . . . . . 17 3 . La théorie Scale-Space d’Alvarez-Guichard-Morel-Lions 17 3.1 Morphologie mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.2 Ouverture et fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.3 Inﬂuence de l’élément structurant : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.4 Fonctions Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Théorie Scale-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.1 Rappels sur les solutions de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2 Scale-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Restauration d’image par mouvement par courbure moyenne . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.2 Expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Aﬃne Morphological Scale-Space (AMSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 . Restauration d’images 23 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Régularisation de Tychonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3.1 Résolution par EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3.2 Résolution en utilisant la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 26 2 4.4 Modèle de Rudin-Osher-Fatemi, et algorithme de projection de Chambolle . . . 27 4.5 Seuillage en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5.1 Espaces de Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5.2 Algorithme de seuillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.5.3 Interprétation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.6 Modèle d’Osher-Sole-Vese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.7 Extension : modèle u + v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Finance/ copie-de-cours-traitement-image.pdf