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D s 1 2021 2022 ISSAT Gabes Section M P Année universitaire ?? Durée h DEVOIR SURVEILLÉ NUMÉRO Le sujet comporte trois exercices indépendants Un grand soin devra être apporté à la rédaction Exercice Déterminer une primitive de f x ?? ? sin x ??cos x En dé

ISSAT Gabes Section M P Année universitaire ?? Durée h DEVOIR SURVEILLÉ NUMÉRO Le sujet comporte trois exercices indépendants Un grand soin devra être apporté à la rédaction Exercice Déterminer une primitive de f x ?? ? sin x ??cos x En déduire ? sin t ??cos t dt B Soit l'équation di érentielle E y sin x ??cos x y sin x Résoudre sur R l'équation sans second membre H associée à E C a Véri er que y x ?? ? ?? cos x est une solution particulière de E b Résoudre E sur R C C Trouver la fonction h dé nie sur R solution de E et qui véri e h B Exercice On considère l'équation di érentielle y y y xex Résoudre dans R l'équation sans second membre associée à cette équation Trouver une solution particulière de l'équation et en déduire ses solutions On considère l'équation t f t tf t f t t ln t o? f est C supposée dé nie uniquement sur ? En posant g x f ex et en exploitant les résultats des questions précédentes résoudre cette nouvelle équation Exercice On cherche à déterminer quels sont les réels x pour lesquels l'égalité ?? ?? C arcsin x ?? x arcsin x est véri ée Pour cela on va poser f x arcsin x ?? x ?? On pose g x x ?? x C a Déterminer le domaine de dé nition de g b Préciser sur quel ensemble g est dérivable et dresser son tableau de variations C c En déduire l'ensemble de dé nition de f Peut-on restreindre l'étude de f à un intervalle plus petit que Df C DEVOIR SURVEILLÉ NUMÉRO Etudier rigoureusement l'ensemble de dérivabilité de la fonction f C Calculer et simpli er f x C En déduire une expression simpli ée de f sur chacun des intervalles o? elle est dérivable et répondre à la question posée en début de l'énoncé On souhaite retrouver le résultat précédent par une autre méthode a C Justi er si x ?? Df l'existence d'un unique réel ?? ?? ? ? tel que x sin b C Justi er que si t ?? ? ? arcsin sin t ? ?? t et que si t ?? ?? ? ?? ? arcsin sin t ?? ? ?? t c C Justi er que pour x ?? ?? arccos x arcsin x ? d C Véri er que pour ?? ?? ? ? f sin arcsin sin puis donner f x dans chacun des cas suivants i x ?? ?? ?? ?? ii x ?? ?? iii x ?? ?? ?? ?? Conclure Bon travail C