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Livret de connaissances du cycle 4 Auteur : Arnaud DURAND (13/09/18) Licence :

Livret de connaissances du cycle 4 Auteur : Arnaud DURAND (13/09/18) Licence : Table des matières 1. Nombres et calculs.........................................................................................................................3 Les nombres décimaux (opérations)..................................................................................3 Les Fractions et quotient (opérations et simplifications)...................................................5 Les relatifs (opérations et repérage)..................................................................................9 Les puissances (opérations).............................................................................................13 Divisibilité : (fractions irréductibles, division euclidienne, critères de divisibilité, nombres premiers, décomposition)..................................................................................16 Calcul littéral...................................................................................................................18 (In)Équations (équation du premier degré et inéquation)................................................22 2. Organisation et gestion de données, fonctions...........................................................................25 Statistiques : (vocabulaire, données sous forme de tableau, graphique, calculer effectifs, fréquence, diagramme circulaire, moyenne, médiane, étendue).....................................25 Probabilité : (équiprobabilité, interprétation fréquentiste, calcul de probabilités simples, vocabulaire, notations).....................................................................................................28 Proportionnalité : (calcul de la quatrième proportionnelle par retour à l’unité, produit en croix et coefficient de proportionnalité, représentation graphique, tableau, pourcentage, augmentation, diminution)...............................................................................................31 Fonctions (notion de, vocabulaire, variable, notation, graphique)..................................35 3. Grandeurs et mesures..................................................................................................................39 Calcul de périmètre, d’aire, de volume............................................................................39 Agrandissement et réduction...........................................................................................40 4. Espace et géométrie.....................................................................................................................41 Repérage..........................................................................................................................41 Symétrie axiale et centrale (médiatrice)..........................................................................43 Propriété du triangle (angle, inégalité triangulaire, hauteur médiatrice).........................45 Propriétés du parallélogramme........................................................................................47 Parallélisme (angles alternes-internes, angles correspondants).......................................49 Triangle rectangle : Égalité de Pythagore........................................................................52 Triangles égaux et semblables.........................................................................................54 Théorème et réciproque du théorème de Thalès..............................................................55 Triangle rectangle : trigonométrie...................................................................................57 Transformations : translation, rotation, homothétie.........................................................59 Conversion d’unité..........................................................................................................61 Les solides.......................................................................................................................62 5. Algorithmie...................................................................................................................................65 Présentation de Scratch....................................................................................................65 Exemples de programme.................................................................................................66 2/68 Nombres et calculs Les nombres décimaux (opérations) I. Expressions avec parenthèses Propriété : On effectue en premier les calculs contenus dans les parenthèses. Exemple : A=3×(5+(6−5)) On observe une première paire de parenthèses qui contient une autre paire de parenthèses, on commence par cette dernière. A=3×(5+(6−5)) J’effectue donc le calcul 6-5 A=3×(5+1) J’effectue ensuite le calcul 5+1 contenu entre parenthèses A=3×6 A=18 II. Expressions sans parenthèses Propriété : Les multiplications et divisions sont prioritaires sur l’addition et la soustraction, on doit donc les effectuer en premier. Exemples : A=4+5×2 La multiplication B=10−6:3 La division A=4+10 est prioritaire B=10−2 est prioritaire A=14 sur l’addition. B=8 sur la soustraction Propriétés : - Si une expression ne contient que des additions et soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite. - Si une expression ne contient que des multiplications et divisions, on effectue les calculs de gauche à droite. Exemples : A=10+5−7+2 B=10×7:5 A=15 –7+2 B=70:5 A=8+2 B=14 A=10 Propriétés spéciales : Si une expression ne contient que des additions, on peut calculer dans l’ordre que l’on souhaite. Si une expression ne contient que des multiplications, on peut calculer dans l’ordre que l’on souhaite. Exemples : A=122+45+78 C’est plus simple de commencer par A=200+45 122 et 78 et je peux les additionner A=245 car il n’y a que des additions. B=8×5×2 Je peux commencer par 5 et 2 et je peux les multiplier B=8×10 car il n’y a que des multiplications. B=80 3/68 III. Vocabulaire Définitions : — Le résultat d’une addition est une somme, les nombres dans l’addition s’appellent des termes. — Le résultat d’une soustraction est une différence, les nombres dans la soustraction s’appellent des termes. — Le résultat d’une multiplication est un produit, les nombres dans la multiplication s’appellent des facteurs. — Le résultat d’une division est un quotient. Exemple : A=4+5×6 est une somme car la dernière opération effectuée est une addition. 4/68 Les Fractions et quotient (opérations et simplifications) I. Définition-Vocabulaire Définition : Soit deux nombres n et d (d≠0) ). Le quotient de n par d est le nombre qui multiplié par d, donne n. On peut l’écrire en écriture fractionnaire : n d . n est appelé le numérateur et d le dénominateur. n d est en conséquence aussi le résultat de la division de n par d. n÷d=n d Exemple : Je multiplie le nombre 5 par 6 5 pour obtenir 6 : 5×6 5=6 . Le quotient de 8 par 9 est 8 9 . Vocabulaire : Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont entiers. II. Écritures fractionnaires égales Propriétés : Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. a b=a×k b×k =a:d b:d Exemple : 5 7 =40 56 110 30 =11 3 (on dit que la fraction 110 30 a été simplifiée) Propriété : Un nombre a est divisible par un nombre b si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est 0, ceci permet de démontrer des critères de divisibilité. En conséquence a divise b, si on a : a=b×k+0 ou a=b×k Pour trouver par quoi on peut diviser le numérateur et dénominateur de la fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité : voir chapitre divisibilité 5/68 III. Comparaison de fractions Pour comparer des fractions, on peut : — Les réduire au même dénominateur et comparer les numérateurs (le sens de l’inégalité sera identique pour les fractions) Exemple : Comparer 6 4 et 14 12 : 6 4=18 12 on compare donc 18 12 et 14 12 or 18>14 donc 18 12 > 14 12 donc 6 4 > 14 12 — Les réduire au même numérateur et comparer les dénominateurs (le sens de l’inégalité sera l’inverse de celui des fractions. Exemple : Comparer 8 12 et 16 20 : 8 12=16 24 , on compare donc 16 24 et 16 20 or 24>20 donc 16 24 < 16 20 donc 8 12 < 16 20 . — On compare leurs écritures décimales. Exemple : Comparer 5/2 et 7/4 : 5 2=5:2=2,5 7 4=7: 4=1,75 donc comme 2,5>1,75 alors 5 2> 7 4 . — On les place sur un axe gradué. IV : Égalité des produits en croix Propriété : Deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux. On a : a b=c d si et seulement si a×d=b×c Exemples : Regardons si 7 8 et 35 40 sont égales. Les produits en croix sont : 7×40 et 8×35. 7×40=280 et 8×35=280 . Donc 7 8=35 40 Compléter : 23 15 =207 ... On sait que les fractions sont égales donc 23×…=15×207 . Appelons b le nombre cherché. 23×b=15×207 D’où 23×b=3105 b est le nombre qui multiplié par 23 donne 3105, donc b=3105 23 =135 6/68 V. Valeur approchée d’un quotient. Définition-Vocabulaire A un rang donné : - La troncature d’un nombre est sa valeur approchée par défaut. - L’arrondi d’un nombre est, de sa valeur approchée par défaut ou par excès, celle qui est la plus proche. Exemple : Nous allons procéder aux encadrements de 23 7 et 23:7≈3,285714286 Rang Encadrement par les valeurs approchées par défaut et par excès Troncature Arrondi Axe gradué A l’unité 3< 23 7 <4 3 3 Au dixième 3,2< 23 7 <3,3 3,2 3,3 Au centième 3,28< 23 7 <3,29 3,28 3,29 quand le nombre est au « milieu », on choisit la valeur par excès. Au millième 3,285< 23 7 <3,286 3,285 3,286 VI. Opérations avec les écritures fractionnaires. Addition/soustraction : Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut : - les réduire au même dénominateur (si ce n’est pas le cas) - ajouter/soustraire les numérateurs et garder le dénominateur. Exemples : 2 3 + 5 3=7 3 3 6 + 4 18=3×3 6×3+ 4 18= 9 18+ 4 18=13 18 3 7 −2 10=3×10 7×10 – 2×7 10×7=30 70−14 70=16 70 7/68 2 3 4 5 3,285... 3,1 3,2 3,3 3,4 3,285… 3,27 3,28 3,29 3,3 3,2857... 3,2843,2853,2863,287 3,28571.. Multiplication : Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, il faut : - multiplier les numérateurs entre eux. - multiplier les dénominateurs entre eux. Exemples : 3 4×5 6= 3×5 4×6 =15 24 2 3×5 3=2×5 3×3 =10 9 Définition : Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut 1. Cela revient à « inverser » le dénominateur et le numérateur. Exemples : 3 4 a pour inverse 4 3 5 (ou 5 1 ) a pour inverse 1 5 . Division : Diviser par un nombre en écriture fractionnaire revient à multiplier par son inverse. Exemple : 4 5 : 7 6 =4 5×6 7=4×6 5×7 =24 35 5 6 :7=5 6 : 7 1=5 6×1 7=5×1 6×7 = 5 42 8/68 Les relatifs (opérations et repérage) I.Définitions Définition : Un nombre relatif est formé d’un signe + ou – d’un nombre appelé distance à zéro. Exemples : (+5) est un nombre relatif, son signe est + et sa distance à zéro est 5. (-3) est un nombre relatif, son signe est - et sa distance à zéro est 3. Définitions : Un nombre comportant un signe – sont appelés les nombres négatifs Un nombre comportant un signe + sont appelés les nombres positifs Remarque : 0 n’a pas de signe car il est à la fois positif et négatif. II.Repérage sur un axe et comparaison Définition : Une droite graduée est une droite qui contient un point nommé Origine, un autre appelé Unité et un sens. Définition : Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif. On dit que ce nombre est l’abscisse de ce point. Exemple : L’abscisse de A est (-2), on le note uploads/Finance/ cours-cycle4-v16-pdf.pdf