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Chapitre 2 : ACTION MÉCANIQUE 1- Définition On appelle action mécanique toute c

Chapitre 2 : ACTION MÉCANIQUE 1- Définition On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, de créer ou de modifier un mouvement ou encore de créer une déformation. 2- Force Une force est une action mécanique capable de créer une accélération, ce qui induit un déplacement ou une déformation de l’objet. En résistance des matériaux, une force est une grandeur vectorielle définie par : Une direction : droite d’action. Un sens : permet d’estimer le mouvement qu’elle va produire (force motrice ou de résistance). Un point d’application. Une intensité : exprimée en Newton. 3- Moment En plus de la possibilité de provoquer un mouvement de translation, une force peut aussi faire tourner un corps rigide autour d’un axe non parallèle à sa ligne d’action et ne l’interceptant pas. Cette possibilité de faire tourner un corps rigide est identique à l’action d’un moment de cette force par rapport à un axe donné. Moment d’une force par rapport à un axe Le moment de ⃗ F par rapport à l’axe OO’ (Figure 1.6) est proportionnel à l’intensité de cette force ainsi qu’à la distance (d) qui sépare l’axe de la ligne d’action de cette force. Le moment est défini comme suivant : M=F×d Le moment est un vecteur perpendiculaire au plan du corps, son sens dépend de la position de la force par rapport à l’axe. Fig.1.6- Schématisation d’un moment Moment scalaire d’une force par rapport à un point On note M O⃗ F le moment de la force ⃗ F par rapport au point O (Figure 1.6); sa valeur se calcule à partir de la formule suivante: M O⃗ F=±F×d (3) Le moment en O de la force ⃗ F est égal à (plus ou moins) l’intensité de ⃗ F multipliée par le bras de levier d. Il se mesure en (N.m) Le moment sera positif si, par rapport au point de calcul, la force tend à faire tourner le solide dans le sens trigonométrique, Le moment sera négatif si, par rapport au point de calcul, la force tend à faire tourner le solide dans le sens anti-trigonométrique. Moment vectoriel d’une force par rapport à un point Un moment est représentable sous forme vectorielle (vecteur moment) et défini à partir d’un produit vectoriel. De la figure 1.7, on aura : ⃗ M O⃗ F=⃗ OA ⃗ F (4) Dans ce cas, le signe …() est donné par le calcul lui-même. En effet, ⃗ M O⃗ F=‖⃗ OA‖‖⃗ F‖sin ⁡(⃗ OA ,⃗ F) Fig.1.7- Moment vectoriel d’une force Couple On appelle couple le moment de deux forces égales, opposées et de lignes d’action parallèles. Un tel ensemble de forces ⃗ F et -⃗ F est donné par la figure 1.8. Fig.1.8- Schématisation d’un couple Les deux forces ⃗ F et -⃗ F (Figure 1.8) ne peuvent être combinées en une seule force puisque leur résultante est nulle. Leur action consiste uniquement à faire tourner le corps sur lequel elles s’exercent. La somme des moments des deux forces par rapport à un axe qui passe par le point O s’écrit : M=F×a+d−F×a D’où : M=F×d (5) On remarque que le moment M est indépendant de la distance a (Figure 1.8). D’où on conclut que le moment d’un couple est constant. Le sens d’un couple peut être représenté comme le montre la figure suivante. Fig.1.9- Représentation du sens d’un couple 1.4. Torseur 1.4.1. Définition Comme nous l'avons vu ci-dessus, la définition complète d’un effort (force) fait intervenir deux vecteurs : Une force ⃗ R appelée résultante, Un moment ⃗ M (⃗ R )¿O en un point O quelconque, appelé moment. Ces deux vecteurs, appelés éléments de réduction, peuvent être regroupés en une seule écriture dans un nouvel outil mathématique appelé « Torseur ». On note { ⃗ τ } un torseur quelconque et { ⃗ τ }O ses éléments de réduction au point O. Ainsi, le torseur est un système de vecteurs glissants ; ensemble d’un vecteur ⃗ R et d’un couple de moment ⃗ C (noté ⃗ M ) dirigé suivant la ligne d’action de ⃗ R (le support de ⃗ R est l’axe central du torseur, et le rapport ⃗ M /⃗ R son pas). Eléments de réduction du torseur en un point A On appelle éléments de réduction du torseur en A : ⃗ M A : moment en A du torseur ⃗ R : résultante du torseur (indépendante de A) Si un solide (S) subit un ensemble de n forces ⃗ Fi appliquées aux points Pi, notées (Pi , ⃗ Fi) de la part du milieu extérieur, cette action mécanique est modélisable par le torseur suivant : {⃗ F(ext →S)}A={ ⃗ R(ext →S)=∑ i=l n ⃗ Fi ⃗ M A(ext →S)=∑ i=l n ⃗ OAi⃗ Fi Notations Dans une base directe (O, ⃗ i , ⃗ j, ⃗ k ), on écrit : ⃗ R(ext →S)= X ⃗ i+Y ⃗ j+Z ⃗ k Et ⃗ M A(ext →S)=LA ⃗ i+M A ⃗ j+N A ⃗ k Alors {⃗ F(ext→S)}A={ X LO Y M O Z NO} (O, ⃗ i, ⃗ j, ⃗ k) A Fig. 1.10- Base directe Enoncé de la condition d’équilibre d’un système matériel L’équilibre d’un système est régi par le principe fondamental de la statique : Deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour l’équilibre d’un solide indéformable :  La résultante générale des forces (actions et réactions) appliquées à ce solide est nulle : ∑⃗ F=⃗ 0  Le moment résultant de toutes les forces appliquées à ce solide, calculé par rapport à un point quelconque est nul : ∑⃗ M=⃗ 0. Dans le cas bidimensionnel, et après projection des efforts, l’équilibre du corps est donné par : { ∑Fx ∑F y ∑M ¿z Soit un solide (S) soumis à un système de forces extérieures modélisé par le torseur {⃗ Fext} . Soit {}le référentiel associé à (S) ; (S) est en équilibre si et seulement si : {⃗ Fext}=( ⃗ 0 ) Utilisations pratiques L’égalité de deux torseurs entraînait l’égalité de leurs éléments de réduction. Soit O le point choisi : {⃗ Fext}O={⃗ 0}O{ ⃗ R(⃗ F ext)=⃗ 0(1) ⃗ M (⃗ Fext)/O=⃗ 0(2) Les équations (1) et (2) sont deux équations vectorielles qui donnent :  6 équations scalaires en l’espace  3 équations scalaires en plan En plan, l’équation des forces (1) possède deux équations scalaires et l’équation des moments (2) une équation scalaire. Le moment est un produit de vecteurs appartenant toujours à (P) (plan de sollicitations) ; le moment est autour de l’axe Z (Z étant perpendiculaire au plan (P)). Fig 3.1- Illustration en plan. 0000000000000000000000000000000000000000000000 1.2.3. Résultante de forces Il est toujours possible de remplacer un système de forces ⃗ F1 , ⃗ F2 , ⃗ F3 , … par une force unique qui a les mêmes effets. Elle s’appelle résultante et s’exprime mathématiquement par : ⃗ R=⃗ F1+⃗ F2+⃗ F3+… (1) Exemple 1.1 La résultante ⃗ R est obtenue en grandeur et direction en formant le polygone des deux forces (Fig. 1.2). Exemple 1.2 La résultante ⃗ R des forces ⃗ F, −⃗ F, ⃗ F1 , ⃗ F2 est représentée sur la figure 1.3. 1.2.4. Composantes d’une force Dans la plupart des problèmes, il est avantageux de décomposer une force ⃗ F en deux composantes ⃗ FX et ⃗ FY suivant deux axes perpendiculaires entre eux (Fig. 1.4). A partir de la figure 1.4, il est évident que : FX=F .cosθ; FY=F .sinθ F=√FX 2 +FY 2 ; θ=Arctang( FY F X ) uploads/Finance/ cours-rdm-chapitre-ii.pdf