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M2 Dynamique du point matériel en référentiel galiléen PCSI 2021 – 2022 Déﬁniti

M2 Dynamique du point matériel en référentiel galiléen PCSI 2021 – 2022 Déﬁnitions : • la dynamique relie le mouvement observé à ses causes. • un point matériel est déﬁni par 3 coordonnées (cinématique) et une masse (dyna- mique). I Forces 1. Déﬁnition et propriétés Une force caractérise l’action subie par un système : déformation et (ou) modiﬁcation du mouve- ment. • On la modélise par un vecteur ⃗ F dont les caractéristiques sont : la direction, le sens, la norme ou intensité en Newton (1 N = 1 kg.m.s−2) et le point d’application. • Elle ne dépend pas du référentiel d’étude. • Si un point M subit N actions caractérisées par les forces ⃗ Fi, l’action résultante est la force ⃗ FTotale = PN i=1 ⃗ Fi : c’est une grandeur additive. ⋆Si ⃗ Fi = ⃗ 0 quelque soit i alors l’objet ne subit aucune force, il est isolé. ⋆Si ⃗ FTotale = ⃗ 0 alors que ⃗ Fi ̸= ⃗ 0 ∀i l’objet est pseudo isolé. 2. Interactions à distance 2.a. Interaction de gravitation et poids b b A mA B mB r = AB ⃗ uA/B ⃗ FA/B ⃗ FB/A Entre deux points matériels de masses mA et mB (toujours at- tractive), ⃗ FA/B = −G mAmB r2 ⃗ uAB = mB.⃗ GA(B) = −⃗ FB/A où ⃗ uAB = − → AB r est unitaire, G est la constante de gravitation : G = 6,67.10−11 m3.kg−1.s−2 et ⃗ GA(B) le champ de gravitation créé par A et ressentie au point B. Dans le cas particulier d’un objet M à la surface de la Terre (masse MT ≃6.1024 kg, rayon RT ≃ 6400 km), on peut considérer que localement, la force de gravitation se traduit par une force ⃗ p verticale descendante qui ne dépend plus que de m la masse de M : ⃗ p = m⃗ g où ⃗ g est l’accélération de pesanteur (d’intensité g ≃G MT R2 T ≃9,8 m.s−2) à la surface de la Terre. 1 M2 Dynamique du point 2.b. Interaction coulombienne, force électrostatique b b A qA B qB r = AB ⃗ uA/B ⃗ FA/B ⃗ FB/A Si qAqB > 0 Entre deux points matériels de charges qA et qB (attractive ou répulsive) est ⃗ FA/B = 1 4πε0 qAqB r2 ⃗ uAB avec 1 4πε0 = 9.109 SI. Et dans un champ électrostatique ⃗ E, la particule de charge q subit ⃗ F = q ⃗ E 3. Interactions de contact L’étude théorique de ce type d’interaction est tellement complexe qu’on se contente d’utiliser des lois empiriques, issues de l’expérimentation. 3.a. Forces de frottement dans un ﬂuide On parle de frottements ﬂuides ou visqueux. ⃗ v ⃗ f L’expression de la force de frottement ⃗ f dépend de la vitesse du mobile par rapport au ﬂuide, de sa forme, du ﬂuide ... en général on utilise : • si v relativement faible, ⃗ f = −α⃗ v avec α en kg.s−1. • si v plus grande ⃗ f = −βv⃗ v proportionnelle à v2 avec β en kg.m−1. 3.b. Forces de frottements au contact d’un solide en translation. On parle de frottements solides. Support corps ⃗ R ⃗ RT ⃗ RN ⃗ v α On note ⃗ R = ⃗ RN + ⃗ RT la réaction du support avec • ⃗ RN la réaction normale, perpendiculaire au support et • ⃗ RT la réaction tangentielle due aux frottements. Lois de Coulomb (empiriques) : • Si mouvement (glissement), la réaction tangentielle ⃗ RT est opposée à la vitesse de glissement ⃗ v et |⃗ RT| = µ|⃗ RN| où µ est le cœfﬁcient dynamique de frottements. • Si pas de mouvement, |⃗ RT| < µ0|⃗ RN| où µ0 est le cœfﬁcient statique de frottements (µ0 ⩾µ en général). Remarques : • Si il n’y a pas de frottement, ⃗ R = ⃗ RN normale au support qu’il y ait déplacement ou pas. PCSI 2021 – 2022 Page 2/12 M2 Dynamique du point • La réaction normale doit être dirigée du support vers le solide . Lorsque le contact est rompu, la force s’annule . 3.c. Force de rappel élastique Exercée par un ressort à spires non jointives de constante de raideur k et de longueur à vide l0. Son intensité est, par hypothèse, proportionnelle à la déformation du ressort. Ressort à vide x ⃗ ex Support immobile 0 ⃗ F = ⃗ 0 l0 rail Ressort allongé x ⃗ ex 0 x l > l0 ⃗ F l −l0 Ressort comprimé x ⃗ ex 0 x l < l0 ⃗ F l −l0 ⃗ F, la force appliquée par le ressort est ici ⃗ F = −k(l −l0)⃗ ex où l est la longueur du ressort mais on aurait ⃗ F = +k(l −l0)⃗ ex si ⃗ ex était orienté en sens inverse, on retiendra donc que ⃗ F = −k(l −l0)⃗ u où ⃗ u est un vecteur unitaire dans la direction du ressort, orienté depuis le ressort vers la masse. 3.d. Tension d’un ﬁl On suppose le ﬁl idéal c’est à dire de masse nulle, inextensible et parfaitement souple. Exemples : • Le pendule (ci-dessous à gauche) : le ﬁl impose une contrainte au point mobile : en coordon- nées polaires, r = l = Cte et ⃗ v = l ˙ θ⃗ eθ . θ O M l = Cte ⃗ T ⃗ v b −⃗ T = ⃗ p M ⃗ T ⃗ p ⃗ T ′ ⃗ T ′ Au cours du temps, ⃗ T n’est constant ni en direction ni en norme (maximale en θ = 0) mais identique en tout point du ﬁl à un instant donné. • Figure de droite, en associant un ﬁl idéal à une poulie idéale (de masse négligeable et qui peut tourner autour de son axe sans frottement), on peut modiﬁer la direction de T sans en modiﬁer l’intensité. On a ici ⃗ T = −⃗ p si M immobile et || ⃗ T ′|| = ||⃗ T|| 3.e. Autres forces usuelles Nous rencontrerons et étudierons dans les détails d’autres forces comme : • la poussée d’Archimède verticale ascendante et d’intensité égale au poids du volume de ﬂuide déplacé (Cf.statique des ﬂuides). • la force de Lorentz ⃗ F = q ⃗ E + q⃗ v ∧⃗ B à laquelle est soumise une particule de charge q et qui se déplace à la vitesse ⃗ v dans un champ électromagnétique. PCSI 2021 – 2022 Page 3/12 M2 Dynamique du point II Lois de Newton Principe d’inertie (première loi de Newton) : il existe une classe de référentiels, appelés référentiels Galiléen (ou d’inertie), par rapport auxquels un point matériel isolé ou pseudo isolé est en mouvement rectiligne uniforme (MRU) : X i ⃗ Fi = ⃗ 0 ⇐ ⇒⃗ v(M/Rg) = ⃗ Cte ⇐ ⇒⃗ a(M/Rg) = ⃗ 0 Ressort à vide z ⃗ ez 0 ⃗ F = ⃗ 0 l = l0 Ressort comprimé z ⃗ ez 0 b M z ⃗ F = −k(l −l0).⃗ ez ⃗ p = −mg.⃗ ez l < l0 Application directe : un ressort de longueur à vide l0 et de constante de raideur k est main- tenu vertical et muni d’un plateau sur lequel on a déposé une masse m. Déterminer la hauteur zéq de la masse à l’équilibre. Dans le référentiel R lié au sol et considéré comme galiléen, le système { M } est à l’équilibre. Les forces appliquées au système sont : • le poids ⃗ p = −mg.⃗ ez, • la force de rappel du ressort ⃗ F = ±k(l −l0).⃗ u = −k(l −l0).⃗ ez = −k(z −l0).⃗ ez ici. À l’équilibre dans R, on a ⃗ p + ⃗ F = ⃗ 0 ⇒−mg.⃗ ez −k(zéq −l0).⃗ ez = 0 et par projection selon l’axe (Oz), on en déduit −mg −k(zéq −l0) = 0 ⇒zéq = l0 −mg k < l0 Principe fondamental de la dynamique (seconde loi de Newton) : dans un référentiel galiléen Rg, la résultante des forces ⃗ F qui s’exercent sur un point matériel M est égale à la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement ⃗ p(M/Rg) = m⃗ v(M/Rg) dans Rg. ⃗ F = d⃗ p dt ! Rg = d(m⃗ v) dt ! Rg = m⃗ a(M/Rg) Soient deux points matériels A et B en interaction. Principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) : b b A B ⃗ FA/B ⃗ FB/A les forces d’interaction ⃗ FA/B et ⃗ FB/A sont opposées et s’exercent sur la droite (AB). ⃗ FA/B = −⃗ FB/A et ⃗ FA/B ∧− → AB = ⃗ 0 Remarque : Attention à ne pas oublier la deuxième partie de cette loi. PCSI 2021 – 2022 Page 4/12 M2 Dynamique du point III Exemples d’application 1. Chute libre Soit un point matériel M de masse m lancé à la surface de la Terre avec une vitesse initiale ⃗ v0. On cherche à uploads/Finance/ dynamique-du-point-materiel-en-referentiel-galileen-i-forces.pdf