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Université du Québec à Montréal Faculté des sciences Département de mathématiqu

Université du Québec à Montréal Faculté des sciences Département de mathématiques Une introduction aux mathématiques de l’ingénierie financière Document de référence Composé par : Mathieu Boudreault, Ph.D., F.S.A. Professeur adjoint Département de mathématiques Université du Québec à Montréal Version du 6 septembre 2011 (avec une révision des notions de théorie de l’intérêt et de probabilités) © 2011 Mathieu Boudreault Table des matières Préface ix 0 Introduction 1 0.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.3 Exemples de produits dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.4 Notions d’arbitrage et de réplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.5.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.5.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I Modèles à temps discret pour l’actif sous-jacent 9 1 Arbre binomial à une période 11 1.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Évaluation par réplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Une simple réorganisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.3 Théorème fondamental d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Évaluation avec la probabilité réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Arbre binomial à deux périodes 25 2.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Évaluation par réplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Complément d’informations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Théorème fondamental d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 iii iv TABLE DES MATIÈRES 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Généralisations et applications de l’arbre binomial 41 3.1 Arbre binomial à plusieurs périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1 Évaluation par réplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.2 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Options sur autres actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Applications variées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Arbres trinomiaux et marchés incomplets 57 4.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Évaluation par réplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Finance/ ingenierie-financiere-math.pdf