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N° 36 DÉC. 1993 Abonnement 4 nos par an : 30 F 2 BILAN FINANCIER DE LA REGIONAL

N° 36 DÉC. 1993 Abonnement 4 nos par an : 30 F 2 BILAN FINANCIER DE LA REGIONALE LORRAINE ANNEE 1993 (provisoire au 24/11/93) Recettes : Cotisations (ristourne nationale) 7 414,00 Rallye mathématiques (C.C.S.T.I. et inscriptions) 39 200,00 Vente de brochures 9 503,50 Intérêts compte épargne 731,51 Abonnements au Petit Vert 480,00 _________ TOTAL 57 329,01 + Subvention rectorale pour le Rallye (en attente) : 3 000,00 Dépenses : Secrétariat et P.T.T. 2 849,76 Rallye mathématique (lots) 33 751,27 Achat de brochures 1 474,10 Impression Petit Vert 1993 Expédition Petit Vert 1 689,10 Frais de d‚placement (Comité, Rallye) 4 750,00 Achats livres bibliothèque 660,00 _________ TOTAL 45 174,23 + Factures à régler avant le 31/12 : Impression du Petit Vert par l'IREM Brochure bilan du Rallye 1993 .......... 3 750,00 En caisse au 15/11/93 (C.C.P.) 7 247,19 En caisse au 15/11/93 (Epargne) 33 279,28 Le compte financier a été approuvé lors de l'Assem- blée Générale du 14/11/93. 3 éditorial Tout va pour le mieux dans le meilleur des mondes Successivement, les journées nationales et la journée régionale nous permirent de nous retrouver, d'échanger des idées... Nous en sommes revenus enthousiastes. Cela fait du bien au moral de rencontrer des collègues qui veulent faire vivre les mathématiques de manière attrayante pour nos élèves. Mais... l'on n'y a pas appris grand chose au sujet de l'avenir du lycée. C'est le flou. Nous avons cru comprendre qu'actuellement, on se préoccupait des problèmes du collège, "maillon faible" du système éducatif. Et l'avenir de nos élèves de seconde et de première ??? Afin de mener une réflexion beaucoup plus sérieuse que les précédentes, Monsieur le Ministre a consulté les collègues et les parents d'élèves concernés. Une commission "Bouchez" analysera vos propositions et écrira un livre blanc. Nous pouvons toujours envoyer nos suggestions jusqu'au 15/12/93 par minitel (36 14 Edutel code NCPT). De plus, une mission "nouveau collège pour tous" sillonne actuellement notre pays... Elle organisera dans notre académie, le 17/01/94, une ou plusieurs réunions. Qui rencontrera-t-elle? Nous avons sûrement quelque chose à dire dans notre régionale. Mobilisons-nous ! En janvier ou en février, toutes vos propositions auront été analysées. Des mesures vont être prises. A la même période, vous verrez sûrement sur vos écrans de télé notre cher Ministre expliquer, face à des enseignants très représentatifs, son programme (comme lors d'une émission de FR3 interactive pendant laquelle le public a pu poser des questions à chaud à l'invité du jour : "Français, si vous parliez", enregistrée le 25 novembre 1993 !). Le lycée... on l'oublie ! Qu’allons-nous dire aux milliers d'élèves de seconde que nous devons conseiller dans leurs choix de série ? Lisez le B.O.E.N. du 23/09/93 : les coefficients du bac 95 sont parus. Les finalités de chaque série dépendent- elles de ces fameux coefficients ? Les modalités des épreuves ? Les contenus des programmes que nous devrons enseigner en septembre 94 en première et en terminale ? C'est le grand mystère... Personne ne se presse ! Il existe déjà des avant-projets des programmes de terminale. Un groupe de réflexion doit se mettre au travail... Au dernier moment, nous découvrirons des programmes provisoires qui auront un air de famille avec ceux que nous connaissons et qui seront prorogés d'année en année en attendant que l'on se mette sérieusement au travail. Et nous, en bons fonctionnaires, nous devrons appliquer ces directives qui viendront d'être prises… avec toutes les précautions nécessaires. Michèle Fabrégas 4 Hélice et vis d'Archimède par André Viricel (Villers les Nancy) Merci à Michel Véry, du lycée Arthur Varoquaux, qui a réalisé les dessins techniques avec le logiciel "Mathematica". Faire passer de l'eau à un niveau plus élevé a toujours été un problème pour les gens des latitudes inférieures à 40°. Archimède (287-212 avant J.-C.) a donné la solution suivante, appelée maintenant VIS D'ARCHIMEDE. Un cylindre, dont l'axe est oblique, contient une cloison hélicoïdale. Il trempe dans l'eau à sa partie inférieure. On le fait tourner, et l'eau monte à sa partie supérieure. Une petite expérience nous permet de comprendre le pourquoi de cette ascension. L'expérience Sur un manche à balai cylindrique, on enroule un fil de cuivre (dans le sens indiqué par la figure). On retire l'hélice obtenue de son support, et on fait tourner le cylindre dans le sens indiqué : 5 L'anneau, qui n'écoute que la pesanteur, descend l'arc sur lequel il est posé, donc va vers notre gauche. Mais (miracle !) il s'éloigne de nous et va donc vers le haut. Il grimpe spire après spire jusqu'à sa libération quand il atteint le bord supérieur du cylindre (qui n'est pas, remarquez-le, le point le plus haut de l'ensemble). Le dessin en perspective Voici, dessinées, deux hélices. Ici, le point A se déplace dans le sens des aiguilles d'une montre : On fait basculer la figure (cylindre porteur et hélice) autour de AA' d'un certain angle α (ici 45°). Dans le plan YOZ on peut voir :  la projection de l'hélice, qui est une sinusoïde (S1),  la projection de l'hélice obtenue après basculement de la précédente, qui est aussi une sinusoïde (S2) Ce dessin suffit à faire comprendre où sont les points de l'hélice à tangente horizontale (en E par exemple) : 6 Un point matériel M (soumis à la pesanteur) astreint à rester sur l'hélice s'arrête donc à ce point E. Quand le cylindre porteur tourne, la sinusoïde (S1) "monte" suivant la direction OZ, et la sinusoïde (S2) glisse entre deux parallèles. Le point E suit la sinusoïde (S2) dans son mouvement de translation : le point E monte le long d'une génératrice. Jusqu'où ? Jusqu'au point où cette génératrice rencontre le bord supérieur du cylindre. Écrivons quelques équations Un point M(x,y,z) du cylindre vertical de rayon r se projette en m sur le plan horizontal XOY ; soit t l’angle (OX,Om) ; soit p le pas de l'hélice. L'équation de l'hélice est donc : cos sin 2          x r t y r t pt z On cherche maintenant la nouvelle équation de la courbe, après rotation d'angle α autour de OX : 7 cos cos sin sin 2 sin sin sin 2                   x r t y r t pt z r t pt Il importe de savoir les points où la tangente est horizontale : sin cos cos 2      dz r t p dt , qui s'annule pour cos cos 2 sin    p t r ; on remarque qu'on n'a de solutions que si 2 tan   p r (c'est à dire si le pas de l'hélice n'est pas trop grand par rapport au rayon). Dans le cas d'une inclinaison à 45*, les points à tangente horizontale correspondent à cos 2  p t r . Avec un tuyau Voici à quoi cela correspond lorsque l'hélice est un véritable tuyau, et non plus filiforme ; et rien n'empêche de mettre plusieurs tuyaux accolés, pour y gagner en efficacité : Ci-dessus, l’hélice d’Archimède (à l’intérieur du cylindre porteur). En page de couverture, le tuyau enroulé autour se son cylindre porteur  8 Un problème posé par FERMAT à TORRICELLI Par Jean-Marie DIDRY Soit A, B, C des points deux à deux distincts d’un plan euclidien. La fonction f définie dans-ce plan par f (M) = MA + MB + MC admet-elle un minimum et en quel(s) point(s) ? La réponse à cette question est bien connue : Cas (1) : si l’un des trois angles de la figure vaut au moins 120°, par exemple BAC, f(M) > f(A) pour tout point M du plan distinct de A. Cas (2) : sinon, f(M) > f (T) pour tout point M distinct de T, point de TORRICELLI du triangle ABC (définition de T et propriétés en annexe). Une solution de ce problème consiste à mettre en évidence une ligne brisée d’extrémités fixes et de longueur f(M) (pour une rédaction détaillée, voir par exemple : Yvonne et René SORTAIS, La géométrie du triangle, Éd. Hermann). Dans un article paru dans l’Ouvert n° 53, Jacques DAUTREVAUX utilise le théorème de PTOLÉMÉE pour traiter le cas (2) ; le cas (1) y est également examiné en détail. D’autres points de départ (dans le cas (2)) sont recensés dans : Ross HONSBERGER, Joyaux mathématiques, vol. 1, Cédic. On y trouve en particulier la solution donnée par TORRICELLI qui s’appuie sur le théorème de VIVIANI (la somme des distances d’un point M intérieur à un triangle équilatéral à ses côtés. est constante). La solution exposée ici utilise l’inégalité suivante : Soient O et N deux points distincts. Alors, pour tout point M du plan, NO MO NO MN. NO   , l’égalité ayant lieu si et seulement si M appartient à la demi-droite [ON). En effet, pour N  O : MO NO si M O NO NO NO MN. (MO ON). MO. NO NO NO uploads/Finance/ pv-36.pdf