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RAPPORT METHODES NUMERIQUES Résolution de l’équation de Black & Scholes Par le

RAPPORT METHODES NUMERIQUES Résolution de l’équation de Black & Scholes Par le schéma d’Euler implicite Présenté par : Encadré par : Arcadius Y. J. AKOSSOU D. AUROUX Année 2013 - 2014 2 Table des matières 1. Introduction........................................................................................................................3 2. Présentation du modèle de Black-Scholes ...........................................................................4 2.1. Notations .....................................................................................................................4 2.2. Hypothèses du modèle de Black-Scholes .....................................................................4 2.3. Equation de Black-Scholes...........................................................................................5 2.4. Résolution analytique...................................................................................................5 2.5. Conditions aux limites .................................................................................................6 2.6. Lien entre l’équation de Black-Scholes et l’équation de la chaleur. ..............................7 3. Résolution numérique de l’équation de Black-Scholes........................................................9 4. Résultats...........................................................................................................................12 4.1. Influence du nombre de points dans l'espace ..............................................................12 4.2. Influence du nombre de pas de temps.........................................................................13 5. Conclusion .......................................................................................................................14 3 1. Introduction La méthode de Monte-Carlo utilisée en finance lors du calcul des prix des produits dérivés, lors de l’évaluation de la sensibilité des portefeuilles aux différents paramètres ou lors de l’évaluation des mesures de risque, font souvent usage de la discrétisation d’équations différentielles stochastiques. En effet la fréquence de variation du prix des actifs financiers nécessite la modélisation de processus continus. Toutefois, la simulation effective de ces processus requiert la discrétisation du temps et donc la détermination de la loi du processus aux instants de discrétisation. Si pour certains processus tels que le mouvement brownien géométrique, il est possible de déterminer la loi du processus à n’importe quel instant (on parle alors de discrétisation exacte), pour d’autres, il faut les approcher par des processus discrets qui convergent vers les processus que l’on souhaite simuler (on parle alors de discrétisation approximative). Le modèle Black-Scholes est un modèle mathématique du marché et qui bien que souvent est considéré comme une avancée fondamentale pour la finance moderne. Ce modèle permet d’évaluer les prix des actifs financiers et notamment des options. Dans ce modèle, le prix de l'action est un processus stochastique en temps continu qui nécessite une discrétisation. Ce projet s’inscrit dans le cadre de l’application du cours de méthodes numériques et a pour objectif de nous familiariser davantage au modèle de Black-Scholes et au processus de pricing d’options à travers l’équation aux dérivées partielles satisfaite par le prix d’une option européenne. Dans ce rapport, après cette introduction, nous présentons dans un premier temps le modèle de Black-Scholes en mettant en exergue le lien entre ce modèle et l’équation de la chaleur. Une deuxième partie du rapport est consacrée à la discrétisation du modèle pour l’implémentation. Les résultats obtenus font l’objet d’une troisième partie. Enfin, une conclusion est tirée à la fin sur l’étude. 4 2. Présentation du modèle de Black-Scholes 2.1. Notations Les notations suivantes seront utilisées dans le document : - S : cours de l’actif sous jacent à l’instant t ; - V = V (t,S) : valeur d’une option, fonction du temps t et de S ; V est noté C (t,S) dans le cas d’une option d’achat (call) et P(t,S) dans le cas d’une option de vente (put) ; - s : volatilité du prix de l’action ; - E : prix d’exercice (appelé également strike) de l’option ; - T : échéance (maturité) de l’option (date d’exercice) ; - r : taux d’intérêt sans risque. 2.2. Hypothèses du modèle de Black-Scholes Le modèle Black-Scholes repose sur un certain nombre de conditions qui s’énonce comme suit : - le prix de l'actif sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique avec une volatilité s constante et une dérive µ constante, de la forme t t t t dW S dt S dS € • € • où t W est un processus de Wiener. - Aucun dividende n’est versé pendant la vie de l’option. Il s’agit d’une hypothèse assez simplificatrice dans la mesure où le versement de dividende est courant. Toutefois, afin de se ramener à la formule précédente, il suffit de soustraire au cours actuel du sous-jacent le(s) dividende(s) estimé(s) (actualisé(s) au taux r). - Les marchés sont parfaits et efficients : cela signifie que personne ne peut prédire dans quel sens variera le marché demain. - Aucun frais de courtage n’est prélevé. Cette hypothèse est presque valable pour les traders travaillant pour le compte d’une institution financière, mais pas pour les clients passant des ordres par leurs intermédiaires. Ce phénomène cause une distorsion du marché. Toutefois, il est possible de généraliser les formules ci-dessus pour tenir compte des frais de transactions. 5 - Les taux d’intérêt restent constants et connus. L’expérience montre que ce n’est pas le cas. Là encore on peut introduire les modèles de variation des taux dans le raisonnement de Black et Scholes. - Les options sont de type européen, c’est-à-dire exerçable seulement à l’échéance. Cette limitation est assez faible dans la mesure où très peu d’option américaine sont exercées avant échéance (dans ce cas la valeur temps est perdue). - Les variations des cours des sous-jacent sont répartis suivant une loi lognormale. Cette hypothèse est correcte en première approximation. 2.3. Equation de Black-Scholes En fonction des conditions énumérées au paragraphe précédent, l’équation de Black-Scholes permet de modéliser la valeur de l’option en fonction du temps et de la valeur de l’action sous-jacente. Le modèle s’écrit : 0 ² ² ² ² 2 1 • ‚ ƒ ƒ € ƒ ƒ € ƒ ƒ rV t V rS S V S t V ‚ (1) C’est une équation aux dérivées partielles (EDP) d’ordre 2, du type parabolique, et il est nécessaire de préciser une condition initiale (ou finale) en temps, et des conditions aux limites en espace. 2.4. Résolution analytique Le prix théorique d'une option d'achat, qui donne le droit mais pas l'obligation d'acheter l'actif S à la valeur E à la date T, est caractérisé par son pay off : „ … „ … 0 ; max E S E S ‚ • ‚ € . Il est donné par l'espérance sous probabilité risque neutre du pay off terminal actualisé : ) ( ) , ( rT e payoff E t S C ‚ † • (2) De même, le prix théorique d'une option de vente est de pay off : „ … „ … 0 ; max S E S E ‚ • ‚ € et est donné par l'espérance sous probabilité risque neutre du pay off terminal actualisé : ) ( ) , ( rT e payoff E t S P ‚ † • (3) 6 La résolution analytique de l’équation (1), donne le prix théorique d’une option. Ainsi pour une option d’achat (call) on a : ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( 1 d N Ee d SN t S C t T r ‚ ‚ ‚ • (4) De même pour une option de vente (put) on a : ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( 1 d N Ee d SN t S P t T r ‚ € ‚ ‚ • ‚ ‚ (5) Avec : - N la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : ds e d N s d ² 2 1 2 1 ) ( ‚ ‡ ‚ ˆ • ƒ ; - „ … t T t T r E S d ‚ ‚ ‰ Š ‹ Œ • Ž € € ‰ Š ‹ Œ • Ž • ‚ ‚ ² 2 1 ln 1 - „ … t T t T r E S d ‚ ‚ ‰ Š ‹ Œ • Ž ‚ € ‰ Š ‹ Œ • Ž • ‚ ‚ ² 2 1 ln 2 2.5. Conditions aux limites Cas du call Dans le cas d’un call à l’échéance, c’et-à-dire lorsque t=T, la valeur du call est donnée par la Formule : „ … „ … 0 ; max , E S T S C ‚ • S • . Si S est inférieur au prix d’exercice au terme de l’option, il est inintéressant d’exercer l’option (sous peine de perdre E - S). Dans le cas contraire, le bénéfice du call est S - E. Alors, le domaine d’étude dans l’espace (variable S) est théoriquement [0,+8 [, et il faut donc fixer les conditions aux limites sur la fonction C. Si S = 0, alors le bénéfice à terme est forcément nul. Il n’y a donc aucun intérêt à exercer l’option d’achat dans ce cas, même s’il reste du temps avant son expiration. On a donc la condition suivante : C(0, t) = 0, t • . 7 Si au contraire le prix de l€action augmente consid•rablement (S ‚ ƒ), il est •vident que l€option sera exerc•e et que le prix d€exercice de l€option sera n•gligeable. On a donc la condition suivante : C(S, t) ~ S, S ‚ ƒ. Cas du put Dans le cas d€un put „ l€•ch•ance, la valeur du put est donn•e par la Formule : „ … „ … 0 ; max , S E T S P ‚ • S • . Si S est sup•rieur au prix d€exercice au terme de l€option, il est inint•ressant d€exercer l€option (sous peine de perdre S - E). Dans le cas contraire, le b•n•fice du uploads/Finance/ rapport-arcadius-akossou.pdf