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TOUS LES EXERCICES D’ANALYSE PC-PSI Pour assimiler le programme, s’entraîner et

TOUS LES EXERCICES D’ANALYSE PC-PSI Pour assimiler le programme, s’entraîner et réussir son concours TOUS LES EXERCICES D’ANALYSE PC-PSI Pour assimiler le programme, s’entraîner et réussir son concours El-Haj Laamri Agrégé en mathématiques et maître de conférences à Nancy-Université Philippe Chateaux Agrégé en mathématiques et professeur en MP au Lycée Henri Poincaré à Nancy Gérard Eguether Maître de conférences à Nancy-Université Alain Mansoux Agrégé en mathématiques et professeur en PC au Lycée Henri Poincaré à Nancy David Rupprecht Agrégé de Mathématiques et professeur en PSI au Lycée Henri Loritz à Nancy Laurent Schwald Agrégé en mathématiques et professeur en CPGE au lycée Henri Poincaré à Nancy Couverture : Claude Lieber © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053963-5 Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » L’évolution récente de l’enseignement des disciplines scientiﬁques dans les C.P.G.E s’est concrétisée par la déﬁnition d’un nouveau programme de première année en 2003 et de deuxième année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de com- bler le fossé grandissant entre la classe de terminale et les classes préparatoires. La progression est explicitement imposée par le nouveau programme qui prévoit notam- ment « un programme de début de l’année », qui exclut la présentation abstraite des concepts au proﬁt d’une démarche fondée sur l’exemple comme point de départ de la conceptualisation, qui préconise l’approche algorithmique en complément de l’ap- proche démonstrative et qui légitime la démarche expérimentale en mathématiques par l’utilisation des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquement uti- lisés dans de nombreux concours, notamment dans le concours commun « Centrale - Supelec ». Mais les programmes des classes préparatoires ne sont pas les seuls à avoir évolué, les programmes de l’enseignement secondaire ont fait l’objet d’une évolution préalable. Enﬁn, l’attitude nouvelle des élèves face aux disciplines scien- tiﬁques rend inefﬁcace l’approche axiomatique et leur appropriation grandissante de l’outil informatique nécessite d’intégrer cet outil à la pédagogie. L’ensemble de ces changements rend impérative la rédaction de nouveaux ouvrages. On constate que c’est davantage la structure, l’ordre des thèmes abordés, l’esprit du programme qui ont évolué, le fond étant resté relativement stable. Sur ce fond, que nous n’avons pas la prétention de renouveler, il existe déjà une abondante et excel- lente littérature ; nous revendiquons une continuité par rapport à nos illustres prédé- cesseurs et nous nous sommes largement inspirés de leurs écrits pour y puiser exer- cices et sujets en nous efforçant de les présenter en parfaite cohérence avec l’esprit du programme actuel. Car cette nouvelle collection répond à une nécessité : entière- ment rédigée après la parution des nouveaux programmes et le début de leur mise en oeuvre, elle garantit une parfaite compatibilité entre la rédaction des ouvrages et les préconisations du programme... ce que n’aurait pu assurer sans risque d’anomalies une simple remise en forme d’une rédaction antérieure. Tous les ouvrages de cette collection sont écrits trois ans après l’apparition des nouveaux programmes et en respectent scrupuleusement l’esprit. Les rédacteurs, ont enseigné et interrogé dans le cadre de l’ancien et du nouveau pro- gramme. Ils perçoivent donc parfaitement l’importance de l’évolution. Leur expé- rience de l’enseignement en classes préparatoires et à l’Université, leur interven- tion régulière en « colles », leur participation aux concours comme interrogateurs à l’oral et/ou correcteurs à l’écrit permettent d’afﬁrmer qu’il s’agit d’équipes très vi Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » « professionnelles ». L’équilibre entre la pluralité des approches qui enrichit le fond et la cohérence de la forme qui renforce l’efﬁcacité est le résultat d’un véritable travail collaboratif, d’une maîtrise d’oeuvre rigoureuse et de sources d’inspiration précieuses... citons particulièrement pour les exercices d’oral la Revue de Mathé- matiques Spéciales, l’Ofﬁciel de la Taupe et les Archives des Professeurs de Spé du Lycée Henri Poincaré de Nancy en particulier celles constituées par Walter APPEL. Cette collection a l’ambition de faire bénéﬁcier le lecteur de l’expertise profession- nelle des rédacteurs, chaque ouvrage est donc rédigé avec un souci de rigueur et de clarté au service de la pédagogie, souci qui s’exprime dans quelques principes : – La qualité de rédaction aboutie exigée des élèves nécessite que les auteurs soient eux-mêmes exemplaires dans leur rédaction, aussi bien celle des énon- cés que celle des corrigés. Un soin tout particulier est apporté à l’écriture des éléments « logiques » : précis et sans ambiguïté , le style traduit explicitement les connexions logiques, implication, nécessité, sufﬁsance, etc. dans un souci permanent de rendre explicite ce qui, ailleurs, reste parfois implicite. – Les corrigés proposés sont toujours complets et commentés quand il le faut, en privilégiant les solutions méthodiques et raisonnables aux approches « astu- cieuses » et « miraculeuses ». L’expérience prouve en effet qu’un corrigé trop « brillant » inquiète l’élève qui se sent incapable de la même performance et ne lui apprend rien de la démarche constructive qui peut amener à une solution lorsqu’on possède une maîtrise sufﬁsante des concepts. L’expérience montre aussi la vertu du contre-exemple... il en est fait un usage courant. – La présence de rappels de cours synthétiques est nécessaire pour replacer les exercices dans leur contexte théorique sans avoir à quitter l’ouvrage en cours de lecture, pour ﬁxer aussi quelques notations choisies parmi les standards. Mais ces éléments de cours ne se substituent en rien à l’enseignement magistral ou aux ouvrages de référence, ils constituent seulement un « minimum concep- tuel » immédiatement disponible pour aider la compréhension des exercices qui restent la matière essentielle de l’ouvrage. – La volonté de respecter l’esprit des nouveaux programmes privilégie la présen- tation de sujets récents (de 2003 à 2006) en respectant scrupuleusement la forme de leur rédaction : aucun toilettage rédactionnel ne doit en masquer l’origina- lité, voire la difﬁculté. Le respect du lecteur exige sa mise en situation réelle de concours. Toutefois ces énoncés sont commentés et expliqués pour rassurer le lec- teur en lui montrant que sous des traits parfois déroutants on peut retrouver des « visages connus ». Certains exercices proposés aux concours avant 2003 ﬁgurent également dans cette collection en raison de leur intérêt ; ils sont alors rédigés sous une forme compatible avec le programme actuel. Si ces principes généraux sont respectés dans l’ensemble de la collection, la plus grande maturité des élèves de deuxième année justiﬁe quelques différences entre les ouvrages de première et de deuxième année. L’élève de première année peut avoir des difﬁcultés à choisir seul, avec discernement, des sujets d’écrits dans les annales. Les Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » vii ouvrages de première année présentent donc une sélection d’extraits de problèmes d’écrits. L’élève de deuxième année, plus mûr, est capable de trouver lui-même des sujets d’écrit, les ouvrages de deuxième année n’en présentent donc pas. Cette plus grande maturité explique aussi le choix qui a été fait de présenter en deuxième année un bon tiers des exercices d’oral dans leur rédaction d’origine, sans commentaires explicatifs, pour placer l’élève au plus près de la situation réelle du concours ; bien entendu, le corrigé est toujours rédigé clairement, avec toutes les indications et tous les commentaires que nécessite leur compréhension. L’objectif essentiel est le res- pect des élèves que l’on met dans une situation proche de celles des concours tout en les guidant dans la correction. Il semble également que des ouvrages spéciﬁques suivant les programmes (MP-MP*, PC-PC* et PSI-PSI*) soient justiﬁés en Mathé- matiques Spéciales alors qu’ils ne le sont pas en premier semestre de Mathématiques Supérieures. Mais, quels que soient les ouvrages, les auteurs ont réalisé un travail de sélection important parmi la multitude d’exercices disponibles pour proposer ceux qu’ils considèrent comme les plus signiﬁcatifs : certains sont sélectionnés pour leur intérêt pédagogique, leur généralité, leurs déclinaisons possibles etc., d’autres sont présentés essentiellement pour donner une idée ﬁdèle de « l’état de l’art actuel » des exercices d’oral et faire l’objet de commentaires au proﬁt des futurs candidats. On aura compris que les ouvrages de cette collection sont avant tout au service des élèves pour lesquels elle constitue un véritable outil pédagogique d’appren- tissage et d’entraînement en vue des concours. Ces ouvrages devraient également convaincre les élèves de l’étendue des points abordés dans les sujets d’oral et d’écrit, qui couvrent réellement les programmes de première et de deuxième année. Mais les enseignants des C.P.G.E pourront aussi utiliser cette collection comme support de travaux dirigés et comme référence. Enﬁn, les examinateurs disposeront avec cette collection d’exemples de vrais sujets d’oraux donnés récemment ; les commentaires qui en sont faits pourront inspirer leur propre démarche pour une évaluation efﬁcace et progressive des candidats. Pour conclure cette présentation, on me pardonnera d’utiliser un ton plus person- nel. Maître de conférences et agrégé en Mathématiques, j’ai souhaité partager plu- sieurs années d’expérience en assurant la maîtrise d’oeuvre des ouvrages de cette collection. Quinze années de participation à différents concours en tant que correc- teur d’écrit et examinateur d’oral, m’ont permis de bien connaître la littérature exis- tante et de bien observer l’évolution de l’attitude des élèves uploads/Finance/ www-clubetudiants-ma-tous-les-exercices-d-x27-analyse-pc-psi.pdf