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Prof : Boufares Amor Devoir de synthèse N°3 4ème Techniques ENONCE Exercice 1 L

Prof : Boufares Amor Devoir de synthèse N°3 4ème Techniques ENONCE Exercice 1 La courbe C ci-dessous représente une fonction g dérivable sur R, D et D’ sont les asymptotes de C et ∆ est la tangente à C au point d’abscisse 0. ∆ D C D’ 1) Calculer g′ (0). 2) Dresser le tableau de variation de g 3) La fonction g précédente est la fonction réciproque d’une fonction f. a) Déterminer le domaine de définition de f. b) Montrer que f est dérivable sur f D et calculer f ′(0) c) Dresser le tableau de variation de f. d) Tracer, dans le même repère, la courbe Г de f. Exercice 2 Soit U et V les suites définies sur N par ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − = = = + 1 n pour tout U 4 1 U 4 5 U 4 5 et U 1 U 1 - n n 1 n 1 0 et n 1 n n U U V − = + 1) Montrer que V est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. 2) En déduire le sens de variation de U. 3) En déduire n U en fonction de n. 4) Calculer n n U lim +∞ → 5) Soit S la suite définie sur N par ∑ = = n 0 p p n U S a) Expliciter n S . b) Calculer n n S lim +∞ → Exercice 3 ABCDEFGH est un cube, I, l, J et K sont les milieux respectifs des segments [AB], [DH], [BF] et [CG] comme indique la figure ci-contre : On munit l’espace du repère (A, AE , AD , AB ). 1) Lire les coordonnées des points I, J, L et K. 2) Déterminer les coordonnées des vecteurs JK , JL , JI et JL JI ∧ 3) Calculer le produit scalaire JL . JK 4) Calculer le volume du tétraèdre IJKL. 5) Calculer l’aire du triangle IJL. 6) En déduire la distance de K au plan (IJL). Exercice 4 Dans la plan complexe muni d’un repère orthonormé (O, v , u ) on donne le triangle ABC comme indique la figure ci-contre : 1) Déterminer graphiquement les affixes des points A, B et C. 2) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe A C A B z z z z − − et calculer son module. 3) En déduire la nature du triangle ABC. 4) Soit I le point d’affixe 2 + 3i. a) Montrer que I est le milieu du segment [BC]. b) Calculer IA 5) Déterminer et construire l’ensemble C des points M(z) tels que 5 3i - 2 - z = . Exercice 5 Soi F la fonction définie par F(x) =∫ + ) x ln( 0 ) t sin( 2 dt . 1) Déterminer le domaine de définition D de F. 2) Montrer que F est une fonction paire. 3) a) Montrer que si 0 < x < 1 alors F(x) 3 ) ln(x ≤ b) En déduire F lim 0+ 4) a) Montrer que si x > 1 alors ln(x) F(x) 3 ln(x) ≤ ≤ b) En déduire F lim ∞ + c) Calculer x F(x) lim x +∞ → et interpréter géométriquement le résultat. 5) Montrer que F est dérivable sur D et déterminer sa fonction dérivéeF′. 6) Dresser alors le tableau de variation de F. 7) Donner l’allure de la courbe C de F dans un repère orthogonal. CORRIGE Exercice 1 1) On sait que, dans un repère orthogonal, le nombre dérivé de g en 0 est la pente de la tangente à sa courbe au point d’abscisse 0 donc g′ (0) = 1. 2) Par simple lecture graphique on a : 3) a) D’après le tableau de variation de g on a f D =]-1,1[. b) Par lecture graphique on constate que C n’a pas de tangente horizontale donc la courbe de f n’a pas de tangente verticale donc f est dérivable sur]-1,1[. Puisque ∆ est une tangente commune de la courbe de f et celle de g alors f ′(0) = 1. c) On sait que f et g ont le même sens de variation d’où : : x -∞ +∞ g′ (x) + g(x) 1 -1 x -1 1 f ′(x) + f(x) +∞ -∞ Г d) C Exercice 2 1) n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n V 4 1 ) U U ( 4 1 U U 4 1 U 4 5 U U V = − = − − = − = + + + + + + donc V est une suite géométrique de raison 4 1 1 4 5 V rme premier te de et 4 1 0 = − = . 2) On a 0 4 1 U U 1 n 1 n > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + + n donc U est strictement croissante. 3) On a 4 1 U U 0 1 = − 2 1 2 4 1 U U ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − …………………. n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 4 1 U U 1 - n n En additionnant membre à membre ces égalités on obtient : 4 1 1 4 1 1 4 1 ... 4 1 4 1 1 U 1 2 n − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = + n n d’où n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 4 1 3 1 3 4 U n 4) On sait que 3 4 U lim donc 0 4 1 lim n n n = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞ → +∞ → n 5) a) n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ = + 4 1 9 1 9 8 3 n 4 4 1 ... 4 1 4 1 1 3 1 3 4 ... 3 4 3 4 4 1 3 1 3 4 S n 0 p 2 termes 1) (n p n 4 4 3 4 4 2 1 b) On sait que +∞ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +∞ → +∞ → +∞ → n n n n S lim donc 0 4 1 lim et 9 8 3 4n lim n Exercice 3 1) I ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1,1, K et 2 1 0,1, L , 2 1 1,0, J , 0 , 0 , 2 1 2) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 2 1 2 1 2 1 JL JI et 0 1 0 JK , 2 1 0 2 1 JI , 0 1 1 JL 3) 1 0 0 1 1 ) 1 ( 0 JL . JK = × + × + − × = 4) Soit V le volume de IJKL alors V = 12 1 6 2 1 JK ). JL JI ( 6 1 = = ∧ 5) Soit S l’aire du triangle IJL alors S = 4 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 JL JI 2 1 2 2 2 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∧ 6) Soit d la distance de K au plan (IJL) alors V = 3 3 3 4 4 1 4 3 4 1 S 3V d où d' S d 3 1 = × = = = × Exercice 4 1) i i i 4 z et 2 4 z , 1 z C B A = + = + = 2) 1 z z z z donc 10 10 ) 3 1 )( 3 1 ( ) 3 1 )( 3 ( 3 1 3 1 4 1 2 4 z z z z A C A B A C A B = = − − − = − = − − + − − − + = uploads/Geographie/ 1-tec-devoir-corrige-de-synthese-n03.pdf