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Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid Royaume du Maroc Minist

Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid Royaume du Maroc Ministère de l’Education Nationale, de la Formation Professionnelle, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Secrétariat d’Etat Chargé de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique LICENCE FONDAMENTALE SEMESTRE 2 COURS DE PROBABILITE Ensemble 5 et 6 (Séances 3 et 4) PR SMOUNI RACHID Calcul de probabilité Une probabilité est la mesure de la possibilité qu'un évènement se produise sur le nombre de résultats possibles. Calculer des probabilités nous permet d'utiliser notre logique et notre raison dans un univers incertain. L’objet de ce chapitre nous permettra de découvrir comment faire pour calculer des probabilités à partir d’une expérience aléatoire dans le but de prendre une décision sur la base des résultats obtenus. I- Définitions 1- Expérience aléatoire On appelle « expérience aléatoire », une expérience dont les conditions de déroulement sont parfaitement définies et l’ensemble des résultats possibles Ω est connu, mais dont le résultat immédiat ne peut être prévu avec certitude à l'avance. Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid 2- Probabilité Une probabilité, issu de cette expérience aléatoire, est un rapport entre le nombre de cas favorable et le nombre de cas possible. possible cas de nombre favorable cas de Nombre obabilité = Pr On appelle Probabilité sur Ω toute application de P(Ω) sur l'intervalle [0 ; 1] vérifiant les conditions suivantes : ✓ P(Ω) = 1 ✓ Pour tout A et tout B appartenant à l’ensemble des parties (Ω, P(Ω)) tels que : Si (A B) = , ⇒P (AUB) = P (A) + P (B). II- Les Axiomes du calcul des probabilités 1. La probabilité impossible est nulle : P ( ) = 0, La probabilité certaine est égale à 1 : P(Ω) = 1. 2. Pour tout événement A de l’ensemble Ω, on note en général : Est l'événement contraire de A. ⇒ On a alors : P( ) = 1 - P(A) ⇔ P( ) + P(A) = 1 . 3. P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A B). 4. Si A B alors P(A) < P(B). Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid III- Propriétés fondamentales 1- ÉVENEMENTS INCOMPATIBLES / INDEPENDANTS ✓ Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si et seulement si leurs réalisations simultanées est impossible. ✓ L'indépendance deux événements A et B est par contre une notion probabiliste qualifiant de manière intuitive des événements aléatoires n'ayant aucune influence l'un sur l'autre. Il s'agit d'une notion très importante en statistique et en calcul de probabilités. ⇒ 2- PROBABILITES TOTALES Evènements compatibles: Evènements incompatibles : ✓ Si A et B sont deux événements incompatibles, alors on a la probabilité totale de (A ou B), (notamment (A+B), ou peut être formulée comme suit : ( ) ). ( ) ( B P A P B A P + =  ✓ Si par contre A et B sont deux événements compatibles (c’est-à-dire que ), la probabilité totale peut être formulée comme suit : A B A B Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid ( ) ( ). ) ( ) ( B A P B P A P B A P  − + =  Deux évènements sont indépendants lorsque le fait de connaître le résultat du premier évènement ne nous aide pas pour prévoir la réalisation du second évènement et inversement. Application Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte au hasard. On définit ainsi les évènements suivants : ✓ A « la carte tirée est un roi de carreau » ✓ B « la carte tirée est trèfle » ✓ C « la carte tirée est un roi» 1- Quelle est la probabilité de l’évènement F définie comme « la carte tirée est ou le roi de carreau ou un trèfle » ? 2- Quelle est la probabilité de l’évènement G définie comme « la carte tirée est ou une carte de roi ou un trèfle » ? Solution 1- ✓ L’évènement F = (A U B) ✓ Les deux évènements A et B sont incompatibles car il n’y a pas d’éléments communs qui lient les deux évènements A et B ✓ Il n’est pas possible de les réaliser simultanément. ⇒P (F) = P (A U B) = P (A) + P (B) P(A) = 1/52 P(B) = 13/52. P (F) = 1/52 + 13/52 Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid P (F) = 14/52 ⇒P (F) = 7/26 2- ✓ L’évènement G = (C U B) ✓ les deux évènements C et B sont dans ce cas compatibles car on trouve une carte « Roi de trèfle » qui peut être comptée à la fois par les cartes Rois et parmi les cartes trèfles. ⇒P (G) = P (C U B) = P (C) + P (B) – P (C∩B) P(C) = 4/52 P(B) = 13/52. P (G) = 4/52 + 13/52 – 1/52 P (G) = 16/52 ⇒P(G) = 8/26 3- PROBABILITES CONDITIONNELLES 1- Cas des évènements non indépendants ✓ Si (Ω, P) est un espace probabilisé. ✓ Si B un événement tel que P(B) est non-nul. ✓ Alors, on appelle Probabilité Conditionnelle de A sachant que B est réalisée." ou Probabilité Induite par B, la probabilité PB définie sur Ω par : ) ( ) ( ) / ( B P B A P B A P  = 2- Cas des évènements indépendants Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid A et B sont deux événements indépendants alors : ) ( ) / ( A P B A P = ) ( ) / ( B P A B P = ✓ Si A et B sont deux événements indépendants alors la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre. Remarque De la définition d'une probabilité conditionnelle, on voit alors que A et B sont indépendants si et seulement si : ). ( ) ( ) ( B P A P B A P  =  Application 1- On lance un dé à 6 faces. Soit les événements suivants : ✓ A, l'événement « obtenir un nombre pair », ✓ B l'événement « est un multiple de 3 ». Les probabilités P(A) et P(B) sont-elles indépendantes ? Réponse On a : Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid ✓ Les événements A et B sont indépendants. 2- On lance deux dés, un noir et l’autre blanc. Soient les événements suivants : ✓ A : « la somme des numéros apportés par les dés fait 6 » ✓ B : « sur le dé noir, on obtient un nombre pair ». Les probabilités des événements A et B sont-elles indépendantes ? Réponse Le dénombrement de tous les cas possibles montre que : ✓ Les événements A et B ne sont pas indépendants. 4- PROBABILITES COMPOSEES 1 -Formule Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid Cette relation est déduite de la probabilité conditionnelle, en fait, P(A∩B) = P(A) × P (B/A) La définition mathématique de l'indépendance de deux évènements est la suivante : ✓ A et B sont indépendants alors la probabilité composée est égale à : ( ) ) ( ). ( B P A P B A P =  ✓ Où ( ) B A P  est la probabilité que les événements A et B se réalisent simultanément. Cette notion d'indépendance intervient dans de nombreux théorèmes par exemple dans la loi des grands nombres et le théorème central limite qui seront traités ultérieurement. 2 Application 1- Une urne contient 7 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement 3 boules. ✓ Si la boule est noire, on l'enlève, ✓ si la boule est blanche, on la retire, et on ajoute une boule noire à sa place. Quelle est la probabilité de tirer 3 boules blanches de suite ? Réponse ✓ On note Bn l'événement « la nième boule tirée est blanche ». ✓ La probabilité recherchée est : )) /( ( ) / ( ) ( ) ( 2 1 3 1 2 1 3 2 1 B B B P B B P B P B B B P    =   On sait que , 10 3 ) ( 1 = B P ✓ Si B1 est réalisé, avant le 2ème tirage, l'urne est constituée de 8 boules noires et 2 blanches. Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid On a donc : , 10 2 ) / ( 1 2 = B B P ✓ Si B1 et B2 sont réalisés, avant le 3è tirage, l'urne est constituée de 9 boules noires et 1 boule blanche. On en déduit que : , 10 1 )) /( ( 2 1 3 = B B B P Finalement On aura donc : )) /( ( ) / ( ) ( ) ( 2 1 3 1 2 1 3 2 1 B B B P B B P B P B B B P    =   . 006 , 0 uploads/Geographie/ 2-cours-de-prob-20-mars-2020-converti-1.pdf