Universidade Federal de Alagoas Glauber Rodrigues Leite Sistemas de Controle 2

Universidade Federal de Alagoas Glauber Rodrigues Leite Sistemas de Controle 2 - AB1 Questão 1 Considerando a função de transferência: Podemos separar denominador do numerador no diagrama de blocos de forma que Assim Analogamente Resultando no seguinte diagrama: 1 Tomando e , construimos a representação do sistema em espaço de estados da seguinte maneira: A = [0, 1, 0; 0, 0, 1; -5.008, -25.1026, -5.03247] A = 3×3 0 1.0000 0 0 0 1.0000 -5.0080 -25.1026 -5.0325 B = [0, 0, 1]' B = 3×1 0 0 1 C = [5.008, 25.04, 0] C = 1×3 5.0080 25.0400 0 Para verificar se o sistema é controlável, calculamos a matriz de controlabilidade e seu rank (posto): Contr = [B, A*B, (A^2)*B, (A^3)*B] Contr = 3×4 0 0 1.0000 -5.0325 0 1.0000 -5.0325 0.2232 1.0000 -5.0325 0.2232 120.1971 disp(['Rank = ', num2str(rank(Contr))]); 2 Rank = 3 Como a matriz de controlabilidade é rank cheio, concluimos que o sistema é controlável De forma análoga, para checar se o sistema é observável, construimos a matriz de observabilidade e calculamos seu posto: Obser = [C; C*A; C*(A^2)] Obser = 3×3 5.0080 25.0400 0 0 5.0080 25.0400 -125.4003 -628.5691 -121.0050 disp(['Rank = ', num2str(rank(Obser))]); Rank = 3 Como a matriz de observabilidade também é rank cheio, concluimoAs que o sistema é observável Questão 2 Para , podemos considerar , e . • • • Na representação de espaço de estados, temos: A = [0, 1, 0; 0, 0, 1; -6, -11, -6]; B = [0,0,6]'; C = [1, 0, 0]; Para transformar a representação em um sistema diagonal, precisamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, podemos partir da equação característica: syms s det(s*eye(3) - A) 3 ans = Encontrando as raízes que serão os autovalores : roots([1, 6, 11, 6]) ans = 3×1 -3.0000 -2.0000 -1.0000 Com isso, construimos a matriz P = [1, 1, 1; -1, -2, -3; 1, 4, 9]; Agora fazemos de forma que A_n = (P^-1) * A * P A_n = 3×3 -1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -2.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -3.0000 B_n = (P^-1) * B B_n = 3×1 3.0000 -6.0000 3.0000 C_n = C * P C_n = 1×3 1 1 1 ou seja: Para descobrir a função de transferência, fazemos . Sabemos que: 4 Calculamos syms s C_n * pinv([s+1, 0, 0; 0, s+2, 0; 0, 0, s+3]) * B_n ans = Ou seja, a função de transferência será: Questão 3 A equação característica de um sistema representado por espaço de estados é dada por . Para o sistema temos syms omega_0 s; A = [0, 1; -omega_0^2, 1]; B = [0, 1]'; C = [1, 0]; det(s*eye(2) - A) ans = Mas nossa equação caracterísitica desejada é . Portanto, devemos aplicar uma lei de controle para tentar ajustar a equação dos sistema à equação desejada. Daí syms k1 k2; K = [k1, k2]; 5 det(s*eye(2) - (A - B*K)) ans = Comparando com a equação característica desejada, calculamos K que trará os pólos do sistema para eqn1 = k1 + omega_0^2 == 4*omega_0^2; k1 = solve(eqn1, k1) k1 = eqn2 = k2 - 1 == 4 * omega_0; k2 = solve(eqn2, k2) k2 = Para o caso particular em que , e : omega = 1; k1 = subs(k1, omega); k2 = subs(k2, omega); K = double([k1, k2]) K = 1×2 3 5 A = double(subs(A, omega)) A = 2×2 0 1 -1 1 Podemos, então, calcular a resposta ao impulso do sistema controlado: H_c = ss(A - B*K, B, C, 0) H_c = A = x1 x2 x1 0 1 x2 -4 -4 B = u1 x1 0 x2 1 C = x1 x2 y1 1 0 6 D = u1 y1 0 Continuous-time state-space model. t = 0:.1:5; y = initial(H_c, [1, 0], t); plot(t, y); rlocus(H_c) 7 Questão 4 (Rodar a seção da questão 3 antes de rodar esta seção) Sendo nosso sistema controlado descrito por A = [0, 1; -4, -4]; B = [0; 1]; C = [1, 0]; Primeiramente checamos se o sistema é observável: Ob = [C; C*A]; disp(['Rank = ', num2str(rank(Ob))]); Rank = 2 Por ter rank cheio, o sistema é dito observável. Temos a seguinte equação característica: 8 com dois pólos reais em -2. A equação característica desejada, com pólos cinco vezes mais rápidos, é dada por: Para projetar o observador, precisamos descobrir a matriz L de forma que: syms s l1 l2 L = [l1; l2]; det(s*eye(2) - (A - L*C)) ans = • • l1 = 20 - 4; l2 = 100 - 4 - 4*l1; L = [l1; l2] L = 2×1 16 32 Nossa nova representação de espaço de estados será H_o = ss(A - L*C, B, C, 0) H_o = A = x1 x2 x1 -16 1 x2 -36 -4 B = u1 x1 0 x2 1 C = x1 x2 y1 1 0 D = u1 y1 0 9 Continuous-time state-space model. t = 0:.1:5; y = initial(H_o, [1, 0], t); plot(t, y); Com pólos em eig(A - L*C) ans = 2×1 -10.0000 -10.0000 Questão 5 O sistema descrito pela função de transferência é representado por espaços de estados na forma: A = -3; B = 1; 10 C = 1; D = 0; Aplicando uma lei de controle para realimentação de estado completo K, temos Adicionando a ação integral, o sistema fica: com equação característica syms k k_e s det(s*eye(2) - [A - B * k, B * k_e; -C, 0]) ans = A equação característica desejada, com dois pólos reais em -5 é Então e , o que resulta no seguinte sistema: k = 7; k_e = 25; A = [A - B * k, B * k_e; -C, 0]; B = [0; 1]; C = [1, 0]; H = ss(A, B, C, D); step(H) 11 12 uploads/Geographie/ ab-1.pdf

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Administrationsistema equação matriz questão característica
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