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Banque épreuve orale de mathématiques session 2018, CCP-MP Mise à jour : 18/09/

Banque épreuve orale de mathématiques session 2018, CCP-MP Mise à jour : 18/09/17 BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 95 probabilités Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires. 1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tirée, il perd 3 points. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches tirées. On note Y le nombre de points obtenus par le joueur sur une partie. (a) Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. (b) Déterminer la loi de Y , son espérance et sa variance. 2. Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans remise. (a) Déterminer la loi de X. (b) Déterminer la loi de Y . EXERCICE 96 probabilités On admet, dans cet exercice, que : 8 q 2 N, X k>q ✓k q ◆ xk−q converge et 8 x 2 ]−1, 1[, +1 X k=q ✓k q ◆ xk−q = 1 (1 −x)q+1 . Soit p 2 ]0, 1[ et r 2 N⇤. On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant t = 0 (le temps est exprimé en secondes). On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte. Le premier rayon laser est envoyé à l’instant t = 1. La bactérie a la probabilité p d’être touchée par le rayon laser. Les tirs de laser sont indépendants. La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchée r fois par le rayon laser. Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie. 1. Déterminer la loi de X. 2. Prouver que X admet une espérance et la calculer. EXERCICE 97 probabilités Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2 dont la loi est donnée par : 8(j, k) 2 N2, P ((X, Y ) = (j, k)) = (j + k) ✓1 2 ◆j+k e j! k! . 1. Déterminer les lois marginales de X et de Y . Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? 2. Prouver que E ⇥ 2X+Y ⇤ existe et la calculer. EXERCICE 98 probabilités Une secrétaire eﬀectue, une première fois, un appel téléphonique vers n correspondants distincts. On admet que les n appels constituent n expériences indépendantes et que, pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé est p (p 2 ]0, 1[). Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus. 1. Donner la loi de X. Justiﬁer. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 26 Banque épreuve orale de mathématiques session 2018, CCP-MP Mise à jour : 18/09/17 2. La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des n −X correspondants qu’elle n’a pas pu joindre au cours de la première série d’appels. On note Y la variable aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d’appels. (a) Soit i 2 J0, nK. Déterminer, pour k 2 N, P(Y = k|X = i). (b) Prouver que Z = X + Y suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre. Indication : on pourra utiliser, sans la prouver, l’égalité suivante : ✓n −i k −i ◆✓n i ◆ = ✓k i ◆✓n k ◆ . (c) Déterminer l’espérance et la variance de Z. EXERCICE 99 probabilités 1. Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. 2. Soit (Yn) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettant un moment d’ordre 2. On pose Sn = n X k=1 Yk. Prouver que : 8 a 2 ]0, +1[, P ✓& & & & Sn n −E(Y1) & & & & > a ◆ 6 V (Y1) na2 . 3. Application On eﬀectue des tirages successifs, avec remise, d’une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires. À partir de quel nombre de tirages peut-on garantir à plus de 95% que la proportion de boules rouges obtenues restera comprise entre 0, 35 et 0, 45 ? Indication : considérer la suite (Yi) de variables aléatoires de Bernoulli où Yi mesure l’issue du ième tirage. EXERCICE 100 probabilités Soit λ 2 ]0, +1[. Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N⇤. On suppose que 8n 2 N⇤, P(X = n) = λ n(n + 1)(n + 2). 1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle R déﬁnie par R(x) = 1 x(x + 1)(x + 2). 2. Calculer λ. 3. Prouver que X admet une espérance, puis la calculer. 4. X admet-elle une variance ? Justiﬁer. EXERCICE 101 probabilités Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points d’eau A, B et C. À l’instant t = 0, il se trouve au point A. Quand il a épuisé l’eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l’un des deux autres points d’eau. L’eau du point qu’il vient de quitter se régénère alors. Soit n 2 N. On note An l’événement «l’animal est en A après son nième trajet». On note Bn l’événement «l’animal est en B après son nième trajet». On note Cn l’événement «l’animal est en C après son nième trajet». On pose P(An) = an, P(Bn) = bn et P(Cn) = cn. 1. (a) Exprimer, en le justiﬁant, an+1 en fonction de an, bn et cn. (b) Exprimer, de même, bn+1 et cn+1 en fonction de an, bn et cn. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 27 Banque épreuve orale de mathématiques session 2018, CCP-MP Mise à jour : 18/09/17 2. On considère la matrice A = 0 B B @ 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 C C A. (a) Justiﬁer, sans calcul, que la matrice A est diagonalisable. (b) Prouver que −1 2 est valeur propre de A et déterminer le sous-espace propre associé. (c) Déterminer une matrice P inversible et une matrice D diagonale de M3(R) telles que D = P −1AP. Remarque : le calcul de P −1 n’est pas demandé. 3. Montrer comment les résultats de la question 2. peuvent être utilisés pour calculer an, bn et cn en fonction de n. Remarque : aucune expression ﬁnalisée de an, bn et cn n’est demandée. EXERCICE 102 probabilités Soit N 2 N⇤. Soit p 2 ]0, 1[. On pose q = 1 −p. On considère N variables aléatoires X1, X2, · · · , XN déﬁnies sur un même espace probabilisé (⌦, A, P), mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p. 1. Soit i 2 J1, NK. Soit n 2 N⇤. Déterminer P(Xi 6 n), puis P(Xi > n). 2. On considère la variable aléatoire Y déﬁnie par Y = min 16i6N(Xi) c’est-à-dire 8! 2 ⌦, Y (!) = min (X1(!), · · · , XN(!)), min désignant « le plus petit élément de ». (a) Soit n 2 N⇤. Calculer P(Y > n). En déduire P(Y 6 n), puis P(Y = n). (b) Reconnaître la loi de Y . En déduire E(Y ). EXERCICE 103 probabilités Remarque : les questions 1. et 2. sont indépendantes. Soit (⌦, A, P) un espace probabilisé. 1. (a) Soit X1 et X2 deux variables aléatoires déﬁnies sur (⌦, A, P). On suppose que X1 et X2 sont indépendantes et suivent des lois de Poisson, de paramètres respectifs λ1 et λ2. Déterminer la loi de X1 + X2. (b) En déduire l’espérance et la variance de X1 + X2. 2. Soit X et Y deux variables aléatoires déﬁnies sur (⌦, A, P). On suppose que Y suit une loi de Poisson de paramètre λ. On suppose que X(⌦) = N et que, pour tout m 2 N, la loi conditionnelle de X sachant (Y = m) est une loi binomiale de paramètre (m, p). Déterminer la loi de X. EXERCICE 104 probabilités Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On dispose de n boules numérotées de 1 à n et d’une boîte formée de trois compartiments identiques également numérotés de 1 à 3. On lance simultanément les n boules. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 28 Banque épreuve orale de mathématiques session 2018, CCP-MP Mise à jour : 18/09/17 Elles viennent toutes se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. Chaque compartiment peut éventuellement contenir les n boules. On note X la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments restés vides. 1. Préciser les valeurs prises par X. 2. (a) Déterminer la probabilité P(X = 2). (b) Finir de déterminer la loi de probabilité de X. 3. (a) Calculer E(X). (b) Déterminer lim n!+1 E(X). Interpréter ce résultat. EXERCICE 105 probabilités 1. Énoncer et démontrer la formule de Bayes pour un système complet d’événements. 2. On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés (c’est-à-dire truqués). Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiﬀre 6 lors d’un lancer vaut 1 2. (a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on uploads/Geographie/ banque-ccp-2018-probas.pdf