Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Thème 9A. La notation Sigma Chapitre no 9. Calculs de sommes I. LES NOTATIONS P

Thème 9A. La notation Sigma Chapitre no 9. Calculs de sommes I. LES NOTATIONS P ET Q Soit I un ensemble ﬁni non vide et (ai)i∈I une famille (ﬁnie) de scalaires indéxée par I . Déﬁnition 1 (Notations) • X i∈I ai désigne la somme des ai, lorsque i parcourt I ; • Y i∈I ai désigne le produit des ai, lorsque i parcourt I . Remarque 1 (Ordre des termes) Dans les deux cas, l’ordre de parcourt de I par i n’inﬂuence pas le résultat puisque I est ﬁni et les lois + et × sont commutatives sur K. Remarque 2 (Cas particulier) Lorsque I = [[m,n]], où m et n sont deux entiers tels que m É n, on note aussi : • n X i=m ai = am + am+1 +···+ an−1 + an ; • n Y i=m ai = am × am+1 ×···× an−1 × an. Dans les 2 cas, il y a n −m +1 termes. Remarque 3 (Indice muet) Dans les opérations précédentes, l’indice i n’a de sens que sous le sym- bole P ou Q (produit). On dit que i est un indice muet. En particulier, la lettre i peut être remplacée lors des calculs par n’im- porte quelle autre lettre mais ne doit apparaître dans aucune expression sans P ni Q. Exercice 1 (Manipulation des symboles) 1. Écrire les quantités suivantes sans P ni Q : a = 5 X k=1 k2 ; b = 2n X i=n i ; c = 8 X j=3 j 3j ; d = 1 Y m=1 3(−1)m m m +1 ; e = 5 X n=1 (−1)n−1 xn n . 2. Exprimer chacune des sommes suivantes à l’aide du symbole P (n ∈N et a ∈K) : αn = 25 +35 +45 +···+n5 βn(a) = 1−a + a2 −a3 +···+(−1)nan γn(a) = a2 2 + a4 4 + a6 6 +···+ a2n 2n δn = 1 2 −2 3 + 3 4 −···+(−1)n+1 n n +1 Λn = ln(1×2×3×..×n) σ = −1 1 + 2 2 −22 3 + 23 4 −···+ 22010 2011 . ⋆Propriétés du symbole P On considère deux familles ﬁnies de scalaires (ai)i∈I et (bi)i∈I (I ﬁni non vide). Proposition 2 (Linéarité) Sous les hypothèses précédentes : • Commutativité : X i∈I (ai +bi) = X i∈I ai + X i∈I bi • Factorisation : X i∈I (λai) = λ X i∈I ai. Remarque 4 (Justiﬁations) Somme en lignes et en colonnes : a1 a2 ··· an b1 b2 ··· bn Factorisation : (λa1)+(λa2)+···+(λan) = λ(a1 + a2 +···+ an). Proposition 3 (Changement de variable) Si I = [[m,n]], (où m,n ∈Z tels que m É n), alors, pour tout p ∈Z, n X i=m ai = n+p X i ′=m+p ai ′−p µ on a posé i ′ = i + p i ∈[[m,n]] ⇔i ′ ∈[[m + p,n + p]] ¶ . Hypokhâgne B/L — 2010/2011 1/8 Lycée Félix Éboué, le 04/02/11 Thème 9A. La notation Sigma Chapitre no 9. Calculs de sommes Exercice 2 (Applications directes) Écrire les sommes suivantes en faisant en sorte que la première valeur de l’indice soit 0 : 20 X i=10 i ; 180 X k=−4 k k +5 ; 45 X i=2 1 ; n X i=1 i. Changer d’indice dans les sommes suivantes pour que leurs termes généraux soit plus simples : n X i=0 (i +1)2 +3 1+ p i +1 ; n+2 X k=3 xk−3 (k −3)! ; n+1 X i=1 (i −1)2i +3i−1. Proposition 4 (Théorème de Fubini) Soient m′,n′ ∈Z tels que m′ É n′ et (Ai,j) est une famille de scalaires indéxée par [[n,m]]×[[n′,m′]], alors : n X i=m n′ X j=m′ Ai,j = n′ X j=m′ n X i=m Ai,j Ã qu’on peut noter : X i,j Ai,j ! . Exercice 3 (Illustration : somme des premiers entiers) Pour n ∈N∗, on note An = n X j=1 j. 1. À l’aide des écritures An = 1+2+···+(n −1)+n et An = n +(n −1)+···+2+1, montrer que 2An = n(n +1). 2. En déduire une expression de An sans le symbole P (ni « ··· »). Exercice 4 (Applications : sommes des premiers carrés) Pour tout entier naturel n, on pose : An = n P k=0 1 ; Bn = n P k=0 k ; Cn = n P k=0 k2 et Sn = n X k=0 £ (k +1)2 −k2¤ ; Tn = n X k=0 £ (k +1)3 −k3¤ . 1. Calculer An. 2. (a) Justiﬁer, en utilisant le principe des dominos, que Sn = (n +1)2. (b) En développant le crochet, exprimer Sn en fonction de Bn et de n. (c) En déduire l’expression de Bn en fonction de n. 3. (a) Toujours avec les dominos, calculer Tn. (b) En développant le crochet, exprimer Tn en fonction de Bn, Cn et de n. (c) En déduire l’expression de Cn en fonction de n. II. DES SOMMES CLASSIQUES On considère une famille ﬁnie de scalaires (ai) indéxée sur [[m,n]], (où m,n ∈Z tels que m É n). Proposition 5 (Suite arithmétique) • Somme des premiers entiers : : si n Ê 0 alors ⋆ n X i=0 i = 0+1+2+···+n = n(n +1) 2 . • Cas général : si (an) est à progression arithmétique de raison r, ⋆alors n X i=m ai = am + am+1 +···+ an = am + an 2 ×(n −m +1) (Moyenne des termes extrèmes) × (Nombre de terme). □Démonstration de la première formule (dûe à Gauss) ∗Cas n = 0 : la formule est une évidence. ∗Cas n Ê 1 : posons : Sn := n X i=0 i = 0+1+2+...+n. On effectue les sommes d’égalités suivantes, membre à membre, en regroupant à droite Hypokhâgne B/L — 2010/2011 2/8 Lycée Félix Éboué, le 04/02/11 Thème 9A. La notation Sigma Chapitre no 9. Calculs de sommes les termes qui se compensent : Sn = 1 + 2 + ... + (n −1) + n + Sn = n + (n −1) + ... + 2 + 1 = 2Sn = (n +1) + (n +1) + ... + (n +1) + (n +1) = n ×(n +1) , puisqu’il y a n termes vallant (n +1) dans le membre de droite. On termine par l’impli- cation 2Sn = n ×(n +1) ⇒Sn = n(n +1) 2 . □Démonstration de la formule générale Reprenons les hypothèses de la proposition précédente. En utilisant la formule donnant le terme général d’une suite arithmétique, on calcule la somme n X i=m ai = n X i=m [am +r ×(i −m)] = Ã n X i=m am ! + " n X i=m r ×(i −m) # = (n −m +1)× am +r × " n X i=m (i −m) # , puisque : • la somme Pn i=m am admet (n −m +1) termes de valeur constante am • on peut factoriser la seconde somme par r. Or, d’après le lemme précédent, cette seconde somme vaut : n X i=m (i −m) = 0+1+...+(n −m) = (n −m)(n −m +1) 2 On a donc : n X i=m ai = (n −m +1)× am +r × (n −m)(n −m +1) 2 = (n −m +1) h am +r × n −m 2 i . Or la quantité entre crochets peut s’exprimer selon : am +r × n −m 2 = 2am 2 + r ×(n −m) 2 = am +[am +r ×(n −m)] 2 = am + an 2 , en utilisant encore la formule donnant le terme général d’une suite arihtmétique. ▷Conclusion : On obtient ﬁnalement : n X i=m ai = (n −m +1)× ³ am + an 2 ´ . Exercice 5 (Application directe) Soit (αn) la suite arithmétique telle que α6 = −3 et α23 = 11. Calculer 11 X k=3 αk. Proposition 6 (Suites géométriques) Soit q un scalaire différent de 1. ∗Si n Ê 0 alors n X i=0 qi = 1+ q1 + q2 +···+ qn = 1−qn+1 1−q . ∗Cas général : Soit une suite géométrique (an) de raison q. • Si q = 1 alors n X i=m ai = (n −m +1)am • Si q ̸= 1 alors n X i=m ai = am 1−qn−m+1 1−q . Notons que am est le premier terme de la somme et n −m +1 le nombre de termes. Exercice 6 (Application directe) Soit (σn) la suite géométrique strictement positive telle que σ3 = p 3 et σ5 = p 6. Calculer 11 X k=0 σk et 18 X k=7 σk. □Démonstration de la première formule de la proposition. On développe puis sim- pliﬁe le produit suivant : (1−q)(1+ q +...+ qk) = (1−q)+(q −q2)+...+(qk −qk+1) = 1−qk+1. On en déduit la formule recherchée en divisant par (1−q), ce qui est possible puisque q ̸= 1. Hypokhâgne B/L — 2010/2011 3/8 Lycée Félix Éboué, le 04/02/11 Thème 9A. La notation Sigma Chapitre no 9. Calculs de sommes □Démonstration de la formule générale ∗Cas q uploads/Geographie/ bl-theme09a-somme-sigma 1 .pdf