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13/12/2014 1 Lois Lois de de probabilités probabilités usuelles usuelles discrè

13/12/2014 1 Lois Lois de de probabilités probabilités usuelles usuelles discrètes et continues discrètes et continues Chapitre 3 1 Lois Lois de de probabilités probabilités discrètes discrètes 2 13/12/2014 2 Loi de Dirac: • Soit un nombre a fixé et soit une v.a. X prenant la valeur a, c’est-à-dire P(X=a)=1. On appelle loi de Dirac au point a la probabilité La représentation de l’histogramme et de la fonction de répartition sont: 3 ( )    ≠ = = a x a x x a , 0 , 1 δ Loi de Dirac: 4 13/12/2014 3 Loi de Dirac: • Sa fonction de répartition: • Son espérance mathématique est E(X)=a et E(X2)=a2 • Sa variance est Var(X)=0 5    ≥ < = a x si a x si x F , 1 , 0 ) ( Prof. Mohamed El Merouani Loi Loi de de Bernoulli Bernoulli: : • Une v. a. X suit une loi de Bernoulli si elle prend les deux valeurs 1 et 0 avec P(X=1)=p et P(X=0)=q où p+q=1. • p s’appelle paramètre de la loi. • {X=1} est dit événement succès et {X=0} est dit événement échec. • X représente donc le nombre de succès obtenu après la réalisation d’une seule expérience aléatoire. 6 Prof. Mohamed El Merouani 13/12/2014 4 Loi Loi de de Bernoulli Bernoulli: : • La loi de probabilité de X suivant une loi de Bernoulli est: Alors E(X)=Σxipi=1xp+0xq=p Var(X)=Σxi 2pi–E(X)2=x1 2p+x0 2q-p2=p-p2 Var(X)=p(1-p)=pq xi 1 0 Σpi pi p q=1-p 1 7 Prof. Mohamed El Merouani Loi Loi Binômiale Binômiale: : • On considère l’expérience qui consiste en n répétitions indépendantes d’une même expérience dont l’issue est l’apparition ou la non apparition d’un événement A qui: – Soit se réalise avec la probabilité p (p=probabilité du succès). – Soit ne se réalise pas avec la probabilité q=1-p (q=probabilité d’échec). • Soit X le nombre d’apparitions de cet événement parmi ces n expériences. • On a Ω={A,Ā}n et 0≤X≤n. 8 Prof. Mohamed El Merouani 13/12/2014 5 Loi Loi Binômiale Binômiale: : • On cherche P(X=k). Le résultat de ces n expériences est une suite (A1, A2,…, An) où Ai=A ou Ā, pour tout i=1,2,…,n. • Si on suppose que A est apparu k fois et Ā (n-k) fois, la probabilité d’une de ces suites (A1, A2,…, An) est pk(1-p)n-k. Comme il existe suites (A1, A2,…, An) où A est apparu k fois et Ā (n-k) fois, on déduit que: 9 . 0 ; ) ( n k q p C k X P k n k k n ≤ ≤ = = − k n C Loi Loi Binômiale Binômiale: : • On vérifie que • En effet, • On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on la note symboliquement B(n, p). • On écrit X~ B(n,p) 10 ( ) ∑ = = = n k k X P 0 1 ( ) ( ) 1 ) 1 ( 1 0 = − + = − − = ∑ n k n n k k k n p p p p C Prof. Mohamed El Merouani 13/12/2014 6 Loi Loi Binômiale Binômiale: : • Espérance mathématique: E(X)=np • Variance mathématique: Var(X)=npq • Ecart-type: σ(X)=√npq • La loi binômiale rend compte de tous les phénomènes répétés de manière indépendante pouvant prendre deux états, tels que: succès ou échec, tout ou rien. 11 Prof. Mohamed El Merouani Loi multinomiale: • Supposons que dans une expérience aléatoire peuvent se présenter les événements A1,A2,…,Ak qui forment un système des événements exhaustifs et mutuellement exclusifs (complet), • P(Ai)=pi et p1+p2+…+pk=1 et calculons la probabilité qu’en faisant n expériences indépendantes on ait x1 fois l’evénement A1, x2 fois A2,…etc, où x1+x2+…+xk=n. 12 Prof. Mohamed El Merouani 13/12/2014 7 Loi multinomiale: • Cette probabilité est donnée par: et zéro, autrement. Avec Xi=xi signifie que l’événement Ai s’est réalisé xi fois. • Alors, on dit que la variable (X1,…,Xk) suit une loi multinomiale de paramètres n, p1, p2,…,pk • Si k=2, on retrouve la loi binomiale. 13 ( ) ∑ = = = = = k i i x k x k k k x n si p p x x n x X x X P k 1 1 1 1 1 , ! ! ! , , 1 ⋯ ⋯ ⋯ Prof. Mohamed El Merouani Prof. Mohamed El Merouani 14 ( ) k k k x k x x x x x x n x x x n x x n x n k k p p p C C C C x X x X P ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 1 1 2 1 3 2 1 2 1 1 2 1 1 1 , , − − − − − − − − = = = ( ) k x k x k k k p p x x n x X x X P ⋯ ⋯ ⋯ 1 1 1 1 1 ! ! ! , , = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k x k x x k k k k p p p x x x x n x x x n x x x n x x n x x n x n x n x X x X P ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 1 2 1 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ! 0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! , , − − − − − − − − − − ⋅ − − − ⋅ − = = = En effet, 13/12/2014 8 Loi multinomiale: • Les principaux moments de cette loi sont: E(Xi)=npi Var(Xi)=npi(1-pi) Cov(Xi,Xj)=-npipj 15 Prof. Mohamed El Merouani Cas particulier: • Considérons la loi trinômiale: où et pj≥0 avec p1+p2+p3=1. • La loi marginale de X est B(n,p1). • La loi marginale de Y est B(n,p2). 16 ( ) y x n y x p p p y x n y x n y Y x X P − − − − = = = 3 2 1 )! ( ! ! ! , ( ) 2 , + ∈Z y x Prof. Mohamed El Merouani 13/12/2014 9 Cas particulier: 17 ( ) ∑ ∑ − = − − − − − = − − − − = − − = = x n y y x n y x y x n y x x n y p p y x n y x n p x n x n p p p y x n y x n x X P 0 3 2 1 3 2 1 0 )! ( ! )! ( )! ( ! ! )! ( ! ! ! x n x x n x n x x n p p C p p p C − − − = + = ) 1 ( ) ( 1 1 3 2 1 Prof. Mohamed El Merouani Exemple: • Une urne contient 9 boules (dont 2 sont rouges, 3 blanches et 4 noires). • On tire au hasard, avec remise, 3 boules de cette urne. • En désignant par X, Y et Z le nombre de boules rouges, blanches et noires tirées, on détermine la loi P(X=i, Y=j, Z=k) avec i+j+k=3. Prof. Mohamed El Merouani 18 13/12/2014 10 Exemple: • La distribution relative à ces 3 variables est en fait une distribution à 2 dimensions puisque la valeur de la 3ème variable est déterminée par celles de deux premières: Z=3-X-Y. • On a: • Les probabilités P(X=i, Y=j, Z=k) sont calculées à l’aide de 19 9 4 et , 9 3 , 9 2 3 2 1 = = = p p p ( ) ( ) k j i k j i k j i P k Z j Y i X P                   = = = = = 9 4 9 3 9 2 ! ! ! ! 3 , , , , Exemple: • On obtient alors: P(0,0,3)=0,0878 P(0,1,2)=0,1975 P(0,2,1)=0,1481 P(0,3,0)=0,0371 P(1,0,2)=0,1317 P(1,1,1)=0,1975 P(1,2,0)=0,0741 P(2,0,1)=0,0658 P(2,1,0)=0,0494 Prof. Mohamed El Merouani 20 13/12/2014 11 Loi hypergéométrique: Loi hypergéométrique: • On considère une urne contenant N boules dont a sont blanches et b=N–a sont rouges. On tire de cette urne n boules. (On peut tirer les n boules en même temps ou l’une après l’autre sans remise). • Soit X la v.a. égale au nombre de boules blanches tirées parmi les n boules. Cette v.a. suit une loi dite hypergéométrique et est notée H(n,a,b). 21 Prof. Mohamed El Merouani Loi hypergéométrique: Loi hypergéométrique: • Comme 0≤X≤a et 0≤n–X≤b, on a: max{0,n–b}≤X≤min{a,n} • Soit un nombre entier k tel que: max{0,n–b}≤k≤min{a,n} • On cherche P(X=k). L’ensemble fondamental Ωest constitué de tous les sous-ensembles de n boules que l’on peut tirer de l’urne Ω=Pn(E). C’est l’ensemble de uploads/Geographie/ chapitre-3-lois-de-probabilites-usuelles.pdf