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27/09/2014 1 C.E.S 27/09/2014 2 Ce logarithme est appelé logarithme népérien en

27/09/2014 1 C.E.S 27/09/2014 2 Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques. On date en général la naissance des logarithmes népériens de 1647, date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme). La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole. 27/09/2014 3 John Napier, peut-être plus connu en France sous le nom de Neper, a laissé son nom dans la postérité mathématique pour son invention des logarithmes. Né en 1550, il est issu d'une riche famille écossaise, et deviendra lui-même baron de Merchiston. A 13 ans, il est envoyé à l'Université de Saint-Andrews, dont les archives révèlent qu'il n'y a obtenu aucun diplôme. On pense qu'il a poursuivi ses études quelque part sur le continent, peut-être à Paris ou en Italie. En 1571, il est de retour en Ecosse pour le mariage de son père, et lui-même se marie en 1572. Deux ans plus tard, il s'établit dans un château nouvellement bâti sur les terres familiales. Il gère activement sa propriété, commerce beaucoup, et développe une approche scientifique de l'agriculture. 27/09/2014 4 Les activités mathématiques ne constituaient donc qu'un passe-temps pour Neper. On le connait pour avoir donné quelques formules en trigonométrie sphérique, et pour avoir popularisé la notation du point pour séparer la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre en écriture décimale. Surtout, il est passionné par le fait de rendre le plus simple et le plus rapide possible les calculs portant sur les multiplications, les divisions et les extractions de racine carrée de grands nombres. Cela le conduit d'une part à l'invention des os de Neper, des petits bâtons de bois sur lesquels sont inscrits les tables de multiplication, et qui permettent de simplifier ces opérations. Surtout, cela le conduit à l'invention des logarithmes. 27/09/2014 5 L'approche des logarithmes de Napier est cinématique. Il considère un mobile M qui parcourt une droite AB d’une certaine longueur . Il démarre du point A avec une certaine vitesse. Au même moment, un mobile M' part d'un autre point A'. On note x la longueur BM, y la longueur A'M'. Napier constate que, si on prend des intervalles de temps régulièrement répétés, x croît en progression géométrique, et y croît en progression arithmétique : il dit que y est le logarithme de x. Le logarithme transforme donc multiplications en additions, racines carrées en division par 2... Napier publie son invention dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio (description de la règle magnifique des logarithmes). 27/09/2014 6 Terminons cette biographie par une petite anecdote. Dans ces temps un peu irrationnels, les esprits brillants comme Napier étaient souvent vus comme des magiciens. La légende rapporte que, confronté à des problèmes de vols, Napier aurait annoncé pouvoir reconnaître le voleur parmi ses serviteurs grâce à son coq magique. Chaque serviteur est envoyé dans une pièce obscure caresser l'animal. Napier l'a malicieusement enduit de suie noire et le voleur, qui n'ose caresser le coq de peur d'être démasqué, est le seul à revenir la main propre! 27/09/2014 7 Formellement, ln(x) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction , l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et x. Cette approche, respectueuse de la réalité historique, permet de prouver l'existence de la fonction ln et ses diverses propriétés. La fonction est une fonction continue sur . Elle admet donc des primitives dont une s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est définie par : : 27/09/2014 8 Elle possède les propriétés algébriques suivantes ln ( 1/a ) = - ln (a ) , a > 0 ln ( a b) = ln ( a ) + ln ( b ) , avec a > 0 et b > 0 ln ( a / b ) = ln ( a ) - ln ( b ) , avec a > 0 et b > 0 ln ( an ) = n ln ( a ) , a > 0 ln ( a ) = ½ ln (a ) a = b ln ( a ) = ln ( b ) a > b ln ( a ) > ln ( b ) Exemples… 27/09/2014 9 ln 1 = 0 ln e = 1 e = 2,71 la base du logarithme népérien ln 2 = 0,69 ln 3 = 1,09 27/09/2014 10 C'est Nicolaus Mercator qui le premier propose ledéveloppement en série entière de ln(1+x) . Le calcul des différentes valeurs du logarithme népérien L’intégrale de la fonction logarithmique Utilité : Utilité : 27/09/2014 11 La fonction logarithmique n’est définie que pour les valeurs positives, le logarithme des valeurs négatives n’existe pas. L’expression algébrique sous le logarithme doit être strictement positive. Soit f(x) = ln u(x), pour déterminer le domaine de définition de f(x) il faut que u(x) soit strictement supérieure à zéro, soit U(x) > 0. EXERCICES EXERCICES 27/09/2014 12 ln U(x) = U(x)’ U(x) ‘ ln (x2+3x+5) = 2x+3 ‘ (x2+3x+5) La dérivée du logarithme d’une fonction est égale à la dérivée de cette fonction divisée par la fonction elle-même. Exemple Exemple EXERCICES EXERCICES 27/09/2014 13 Lim ln x = - ∞ x 0 Lim ln x = + ∞ Lim x ln x = 0 x 0 x + ∞ ln x x Lim = 0 x + ∞ x 0 ln (x+1) x Lim = 1 EXERCICES EXERCICES 27/09/2014 14 EXEMPLES D’APPLICATION : Étudier les fonctions logarithmiques suivantes et construire les représentations correspondantes: 1) f(x) = lnx 2) f(x) = ln(x + 1) 3) f(x) = ln(x + 4) 4) f(x) = ln(x - 1) 5) f(x) = ln(x2 +3x + 2) 6) f(x) = ln(x2 +x - 2) 27/09/2014 15 MÉTHODE: 1) On donne le domaine de définition : on cherche l’ensemble des x pour lesquels cette équation existe. 2) En utilisant les propriétés algébriques de ln, on transforme l’équation pour se ramener à : ln (A) = ln(B) 3) On applique le théorème : ln (A) = ln(B) équivaut à A = B, et on résout l’équation obtenue. 4) On vérifie si les valeurs trouvées appartiennent à l’ensemble de définition de l’équation, et on donne l’ensemble solution. MÉTHODE: 1) On donne le domaine de définition : on cherche l’ensemble des x pour lesquels cette équation existe. 2) En utilisant les propriétés algébriques de ln, on transforme l’équation pour se ramener à : ln (A) = ln(B) 3) On applique le théorème : ln (A) = ln(B) équivaut à A = B, et on résout l’équation obtenue. 4) On vérifie si les valeurs trouvées appartiennent à l’ensemble de définition de l’équation, et on donne l’ensemble solution. EXERCICES EXERCICES 27/09/2014 16 Résolution d’ équations avec logarithme EXERCICE 1: On se propose de résoudre dans R l’équation 27/09/2014 17 SOLUTION : Ensemble de définition : La quantité dont on prend le logarithme doit être strictement positive. SOLUTION : Ensemble de définition : La quantité dont on prend le logarithme doit être strictement positive. Pour que l’équation existe, il faut : Pour que l’équation existe, il faut : Transformation : Comme ln a + ln b = ln ab, l’équation devient ln (x - 1) (x - 3) = ln 3. Transformation : Comme ln a + ln b = ln ab, l’équation devient ln (x - 1) (x - 3) = ln 3. 27/09/2014 18 Résolution technique: l’équation équivaut à : Vérification: Vérification: Il faut 27/09/2014 19 Exercice 2 : Résoudre dans R l’équation : 27/09/2014 20 SOLUTION On cherche l’ensemble de définition de cette équation. L’équation équivaut à : L’équation équivaut à : 27/09/2014 21 une propriété du cours permet d’obtenir : une propriété du cours permet d’obtenir : Cette équation équivaut à : 0 n’appartient pas à D. Les solutions de l’équation sont donc : 27/09/2014 22 Exercice 3 : Résoudre dans R l'équation suivante: 2In (x + 1) = In (1 - x) Exercice 3 : Résoudre dans R l'équation suivante: 2In (x + 1) = In (1 - x) 27/09/2014 23 SOLUTION : 2In (x + 1) = In (1 - x) (1) L’égalité (1) n'a de sens que si x + 1 > 0 et 1 - x > 0, soit - 1 < x < 1. Ensemble de définition de l’équation S = ]-1; 1 [. SOLUTION : 2In (x + 1) = In (1 - x) (1) L’égalité (1) n'a de sens que si x + 1 > 0 et 1 - x > 0, soit - 1 < x < 1. Ensemble de définition de l’équation S = ]-1; 1 [. 27/09/2014 24 L ‘équation donnée n’étant pas sous la forme ln f(x) = ln g(x), elle doit être transformée. 27/09/2014 25 * Parmi les deux nombres trouvés, seul 0 appartient à D; l'équation (1) admet 0 pour unique solution. S = uploads/Geographie/ le-modele-logarithmique.pdf