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Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un ro

Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un robot ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Université 8 Mai 1945 Guelma Responsable de la matière : Pr. DJEBALA 1 Chapitre 3 Modèle géométrique direct et inverse d’un robot 1. Modélisation Géométrique Directe d’un robot (MGD) 1.1. Définition du MGD Le Modèle Géométrique Direct permet de connaître les mouvements de l’effecteur dans l’espace de la tâche en fonction des mouvements des articulations du robot. Il permet notamment de déterminer l’espace de travail du robot (domaine atteignable). Le MGD d’un robot est donc l’application f de R n dans R 6 (si n est le nombre d’axes du robot) exprimant x en fonction de q : ' = )(*) = + ,-./0/-1 23 453))360378 291. :; -831090/-1 23 :< ,98 89,-80 à :;> = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ' B C D E F⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ /:; Donc il s’agit d’un système de six équations permettant de calculer les six inconnus xi en fonction de n valeurs de qi. 1.2. Notations et règles générales Considérons un robot série de chaine cinématique ouverte comme le montre la figure 1. Certaines règles et notations doivent être respectées comme suit : Figure 1 : Robot série à chaine cinématique ouverte Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un robot ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Université 8 Mai 1945 Guelma Responsable de la matière : Pr. DJEBALA 2 - La variable de l’articulation j est notée qj - Le corps j est noté Cj - Les corps sont supposés parfaitement rigides, connectés par des articulations considérées comme idéales - Le repère R j est lié au corps Cj - L’axe zj est porté par l’axe de l’articulation j+1 - Les paramètres qui permettent de définir le repère Rj par rapport au repère antécédent sont munis de l’indice j. - Le repère R0(o,xo,yo,zo) est lié à la base fixe du robot, O est le centre de l’articulation 1 - Le repère R1(A,x1,y1,z1) est lié au corps 1, A et le centre de l’articulation 2 ………………… et ainsi de suite. Remarque : Le nombre de corps du robot est égale au nombre d’articulations+1 Pour trouver le modèle géométrique direct d’un robot en chaîne ouverte simple, il faut placer un référentiel sur chaque corps du robot. Pour un robot à n articulations, donc à n+1 corps, le MGD est donné par l’expression : 0Tn=0T1 1T2 2T3 …………n-1Tn 1.3. Méthode de Denavit-Hartenberg Cette convention fournit pour chaque axe la matrice de transformation homogène correspondante par la connaissance de quatre paramètres au lieu de six. Cette méthode peut être intéressante pour systématiser les calculs du modèle géométrique. Ainsi les règles de Denavit-Hartenberg sont les suivantes : - L’axe zJ correspond à l’axe de l’articulation j+1 - L’axe xj est perpendiculaire à l’axe zj-1 - L’axe xj coupe l’axe zj-1 Le passage de Rj-1 à Rj s’exprime en fonction des quatre paramètres de Denavit-Hartenberg suivants (Fig. 2): αj : angle entre les axes zj-1 et zj, correspondant à une rotation autour de l’axe xj dj : distance entre xj-1 et xj, correspond à une translation le long de zj-1 θj : angle entre les axes xj-1 et xj, correspondant à une rotation autour de zj-1 aj : distance entre zj-1 et zj le long de xj. Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un robot ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Université 8 Mai 1945 Guelma Responsable de la matière : Pr. DJEBALA 3 Figure 2 : Règles de Denavit-Hartenberg La variable articulaire qj est soit θj, soit aj, selon que l’articulation j est rotoïde ou prismatique. En utilisant ces paramètres, la matrice de transformation homogène i-1Ti s’écrit : i-1Ti = rot(zj-1,θj) x trans(zj-1, dj) x trans(xj, aj) x rot(xj, αj) Soit : 1.4. Méthode de Denavit-Hartenberg modifiée La méthode de Denavit-hartenberg est bien adaptée pour des structures ouvertes simples, mais présente des ambiguïtés lorsqu’elle est appliquée sur des robots à structures fermées ou arborescentes. Wisama Khalil propose une modification de cette méthode : méthode de Denavit-Hartenberg modifiée (méthode de Khalil). Cette méthode permet la description homogène en un nombre minimum de paramètres pour la représentation des différentes structures de robots généralement rencontrés. xj-1 xj zj-1 zj oj-1 oj j j dj aj Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un robot ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Université 8 Mai 1945 Guelma Responsable de la matière : Pr. DJEBALA 4 Les règles générales précédemment présentées seront donc modifiées comme suit (Fig. 3): - L’axe zJ correspond à l’axe de l’articulation j+1 - L’axe xj est porté par la perpendiculaire commune aux axes zj est zj-1. Si les axes zj et zj -1 sont parallèles ou colinéaires, le choix n’est pas unique : des considérations de symétrie ou de simplicité permettent alors un choix rationnel. Les quatre paramètres géométriques de la convention (D-H) sont dans ce cas les suivants : αj : angle entre les axes zj-1 et zj, correspondant à une rotation autour de l’axe xj-1 aj : distance entre les axes zj-1 et zj, correspond à une translation le long de l’axe xj-1 θj : angle entre les axes xj-1 et xj, correspondant à une rotation autour de zj dj : distance entre xj-1 et xj, correspondant à une translation le long de l’axe zj. Figure 3 : Méthode de Denavit-Hartenberg modifiée la matrice de transformation homogène i-1Ti s’écrit dans ce cas : j-1Tj = rot(zj-1, αj) x trans(xj-1, aj) x rot(zj, θj) x trans(zj, dj) Soit : j-1Tj= Pour une mise en œuvre pratique de la méthode (D-H), il faut tout d’abord placer les repères sur les articulations du robot tout en remplissant un tableau avec les paramètres (D-H), couramment appelée matrice (D-H). Le paramètre σj tient compte du type de l’articulation, il est égale à 0 si l’articulation j est rotoïde, et 1 si elle est prismatique. Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un robot ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Université 8 Mai 1945 Guelma Responsable de la matière : Pr. DJEBALA 5 Articulation (j) σj θj αj aj dj 1 2 3 … n Tableau 1 : Matrice D-H 1.5. Exercice d’application Soit le robot RR suivant : - Placer les repères sur chaque articulation conformément aux règles D-H (originales) - Déduire les paramètres D-H et donner la matrice correspondante - Calculer toutes les matrices de transformations homogènes et déduire le modèle géométrique direct du robot. L2 Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un robot ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Université 8 Mai 1945 Guelma Responsable de la matière : Pr. DJEBALA 6 Solution - Un repère est placé sur chaque articulation en respectant les règes D-H. Articulation (j) σj θj αj aj dj 1 0 Θ1 -/2 0 L1 2 0 Θ2 0 L2 0 - Matrices de transformations homogènes et MGD du robot 0T1= b 6-.cd 0 −./1cd 0 ./1cd 0 6-.cd 0 0 −1 0 f1 0 0 0 1 g 1T2= b 6-.ch −./1ch 0 f26-.ch ./1ch 6-.ch 0 f2./1ch 0 0 1 0 0 0 0 1 g 0T2= 0T1 x 1T2= b icdich −icdjch −jcd f2icdich jcdich −jcdjch icd f2jcdich −jch −ich 0 f1 −f2./1ch 0 0 0 1 g Z2 Z1 L2 Z0 X0 X1 X2 - La matrice D-H est donc la suivante Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un robot ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Université 8 Mai 1945 Guelma Responsable de la matière : Pr. DJEBALA 7 2. Modèle géométrique inverse d’un robot (MGI) Il s'agit de déterminer les coordonnées articulaires q permettant d'obtenir une situation désirée pour l'organe terminal et spécifiée par les coordonnées opérationnelles. Il n'existe pas de méthode systématique d'inversion du modèle géométrique. Lorsqu'elle existe, la forme explicite, issue d'une inversion mathématique, qui donne toutes les solutions possibles au problème inverse (il y a rarement unicité de la solution) constitue le modèle géométrique inverse. Donc, contrairement au MGD, le modèle géométrique inverse exprime les coordonnées articulaires en fonction des coordonnées opérationnelles, tel que : q= f-1(x) Il existe un certain nombre de méthodes pour calculer le modèle géométrique inverse, notamment la méthode géométrique, la méthode de Pieper ou celle de Paul qui traite séparément chaque cas particulier et qui convient pour la plupart des robots industriels. La figure 4 montre les solutions possibles d’un MGI pour un robot à 6 ddl. Dans cet exemple il y a 8 solutions possibles pour atteindre la position désirée de l’organe terminal. Figure 4. Exemple de solution d’un MGI pour un robot à 6 ddl 2.1. Méthode géométrique Cette méthode est intéressante pour les robots à structure simple et ne nécessite pas forcément des calculs préalables du MGD. Elle consiste à utiliser les relations trigonométriques d’un triangle quelconque. Soit le manipulateur évoluant dans le plan et décrit par la figure 5. Cours SMA & Robotique Chapitre 3 : Modèle géométrique direct et inverse d’un robot ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Université 8 Mai 1945 Guelma Responsable de la matière : Pr. DJEBALA 8 uploads/Geographie/ chapitre-3-pdf.pdf