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29/09/2014 1 1 Modèles de moyennes mobiles • Un modèle de moyennes mobiles d’or

29/09/2014 1 1 Modèles de moyennes mobiles • Un modèle de moyennes mobiles d’ordre q, que l’on note MA(q), est donné par: Yt=et-θ1et-1-θ2et-2-…-θqet-q où les les pondérations θi sont affectées par un signe “moins” pour raison de convention de notation. • En utilisant l’opérateur polynomial de retards θ(L)=1- θ1L- θ2L2-…- θqLq Pr. Mohamed El Merouani 2 • Le modèle de moyennes mobiles dans sa forme réduite: Yt=θ(L)et • Dans ce modèle, la moyenne est nulle, quelques soient les valeurs de θi. • En effet, E[Yt]=θ(L)E[et]=0 Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 2 3 • Si dans le modèle Yt=et-θ1et-1-θ2et-2-…-θqet-q on inclue un terme constant Yt=δ+et-θ1et-1-θ2et-2-…-θqet-q • Alors, si on applique l’espérance mathématique à l’expression précédente, on obtient: E[Yt]=δ Donc, dans les modèles de moyennes mobiles, la moyenne du processus coïncide avec le terme indépendant δ. Pr. Mohamed El Merouani 4 • Sans perte de généralité, on supposera dans la suite que δ=0. • Maintenant, on va étudier les propriétés d’un MA(1) et d’un MA(2), pour les généraliser ensuite à un MA(q). Modèle MA(1): Un modèle MA(1) est donné par Yt=et-θ1et-1=(1-θ1L)et Si on multiplie les deux membres par de ce modèle par Yt-τ, et si on calcul des espérances mathématiques, on obtient: Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 3 5 E[YtYt-τ]=E[et-θ1et-1][et-τ-θ1et-τ-1] • On peut voir que pour τ=0, en tenant compte que E[etet’]=0 pour t≠t’, on a γ0=E[Yt]2=E[et 2+θ1 2et-1 2-2θ1etet-1]=[1+θ1 2]σe 2 • Pour τ=1 γ1=E[et- θ1et-1][et-1-θ1et-2]=-θ1 σe 2 • Pour les valeurs de τ>1, on déduit que γτ=0 τ>1 Pr. Mohamed El Merouani 6 • Si on divise par γ0 les deux membres des deux expression précédentes, on obtient les coefficients d’autocorrelation: Rτ = 0 τ>1 Représentons le corrélogramme d’un modèle MA(1) pour les valeurs du paramètre θ1=0,8 et θ1= -0,8. 1 1 2 1 1 1 = + − = τ θ θ R Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 4 7 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Yt = et - 0,8 et-1 Pr. Mohamed El Merouani 8 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Yt = et + 0,8 et-1 Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 5 9 De même, on représente les réalisations correspondantes au modèle Yt = et - 0,8 et-1 Nombres d’observations: 120Pr. Mohamed El Merouani 10 et les réalisations correspondantes au modèle Yt = et + 0,8 et-1 Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 6 11 • Un modèle MA(1) est toujours stationnaire indépendement de la valeur prise par le paramètre θ1. • Si le modèle MA(1) est exprimé ainsi: et=Yt+θ1et-1 et si on effectue des substitutions successives, alors: et=Yt+θ1[Yt-1+θ1et-2]= ……………………… =Yt+θ1Yt-1+ θ1 2Yt-2+…+ θ1 NYt-N+ θ1 N+1et-N-1 Pr. Mohamed El Merouani 12 • Si |θ1|<1, le dernier teme de la dernière expression a moins de poids à mesure que N soit plus grande, et en plus le poids de chaque Yt retardée décroit à mesure que le nombre de retards croit. • Par conséquent, sous cette condition, un modèle MA(1) peut s’ecrire: et=Yt+θ1Yt-1+ θ1 2Yt-2+… Ainsi, on a passé d’un modèle MA(1) à un AR(∞). Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 7 13 • La condition qui nous a permis de passer d’un modèle à un autre, c’est-à-dire la condition d’inversibilité, est |θ1|<1. • Aussi, lorsque |θ1|<1, on aura pu écrire: Yt=(1-θ1L)et ou encore Donc et=Yt+θ1Yt-1+ θ1 2Yt-2+… ( ) t j j t t Y L Y L e ∑ ∞ = = − = 0 1 1 1 1 θ θ Pr. Mohamed El Merouani 14 • L’équation Yt=et-θ1et-1 peut être considérée comme une équation aux différences en et (Yt sera dans ce cas la partie non homogène). • Pour que cette équation soit stable, il faut que la racine du polynôme caractéristique 1-θ1L=0 soit en dehors du cercle unité, c’est-à-dire que ou encore |θ1|<1. 1 1 1 > = θ L Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 8 15 • Comme on peut voir, la condition d’inversibilité d’un modèle MA(1) est équivalente, dans le sens formal, à la condition de stationnarité d’un modèle AR(1). • Nous répetons qu’un modèle MA(1) est toujours stationnaire et que la condition d’inversibilité n’est là que pour nous permettre de passer à un modèle AR(∞). Pr. Mohamed El Merouani 16 Modèle MA(2) • Un modèle MA(2) est donné par Yt=et-θ1et-1 –θ2et-2 =(1-θ1L- θ2L2)et • Si on multiplie les deux membres par de ce modèle par Yt-τ, et si on calcul des espérances mathématiques, on obtient: E[YtYt-τ]=E[et-θ1et-1 –θ2et-2 ][et-τ-θ1et-τ-1 –θ2et-τ-2 ] Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 9 17 • Pour différentes valeurs de τ, on obtient les résultats suivants: γ0=(1+θ1 2+θ2 2)σe 2 τ=0 γ1=(-θ1+ θ1θ2)σe 2 τ=1 γ2=(-θ1)σe 2 τ=2 γτ=0 τ>2 Pr. Mohamed El Merouani 18 2 2 2 1 2 1 1 1 1 θ θ θ θ θ + + + − = R 2 2 2 1 2 2 1 θ θ θ + + − = R Rτ=0 τ>2 A partir des expressions précédentes, on obtient facilement les coefficients d’autocorrelation: Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 10 19 • Pour qu’un processus MA(2) soit inversible, il faut que les racines du polynôme caractéristique: 1-θ1L-θ2L2=0 soient en dehors du cercle unité. • Par la suite on va représenter les corrélogrammes et les réalisations correspondentes à quatre modèles MA(2) inversibles. Pr. Mohamed El Merouani 20 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Yt=et+0,4et-1-0,5et-2 Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 11 21 Yt=et-0,4et-1-0,5et-2 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Pr. Mohamed El Merouani 22 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Yt=et-1,5et-1+0,9et-2 Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 12 23 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Yt=et+1,5et-1+0,9et-2 Pr. Mohamed El Merouani 24 Yt=et+0,4et-1-0,5et-2 Nombres d’observations: 120 Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 13 25 Nombres d’observations: 120 Yt=et-0,4et-1-0,5et-2 Pr. Mohamed El Merouani 26 Nombres d’observations: 120 Yt=et-1,5et-1+0,9et-2 Pr. Mohamed El Merouani 29/09/2014 14 27 Nombres d’observations: 120 Yt=et+1,5et-1+0,9et-2 Pr. Mohamed El Merouani uploads/Geographie/ series-tempo-13.pdf