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Exercice 1: Soient H = {(x, y, z) ∈R3 : x + 2y + z = 0} et G = Vect{(1, 2, 1)}.

Exercice 1: Soient H = {(x, y, z) ∈R3 : x + 2y + z = 0} et G = Vect{(1, 2, 1)}. 1) V´ eriﬁer que H est un sous-espace vectoriel de R3. 2) D´ eterminer une famille g´ en´ eratrice de H. 3) Donner la dimension de H. 3) Donner la dimension de G. 4) Montrer que H ∩G = {0}. 5) Justiﬁer pourquoi R3 = H ⊕G. Exercice 2 : Soient H = {P ∈R2[X] : P(1) = 0} et G = {P ∈R2[X] : P(−1) = 0}. 1) Donner une famille g´ en´ eratrice de H. 2) Donner la dimension de H. 3) Donner une famille g´ en´ eratrice de G. 4) Donner la dimension de G. 5) Donner une base de H + G. 6) En d´ eduire la dimension de H ∩G. 7) Donner une base de H ∩G. 8) Les sous-espaces H et G sont-ils suppl´ ementaires dans R2[X]? Exercice 3 : On munit R3 de sa base canonique B = (e1, e2, e3) et soit l’endomorphisme de R3 : f : R3 →R3, f(x, y, z) = (x + 2y −z, x + y −z, 2x + y + z). 1) Donner la matrice A = M(f, B). 2) Calculer le rang de A. 3) En d´ eduire le rang de f. 4) L’endomorphisme f est-il injectif? 5) L’endomorphisme f est-il surjectif? Exercice 4 : Soit la matrice r´ eelle A =   −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1  . Le polynˆ ome caract´ eristique de A est PA(X) = (X + 1)(X + 2)(X −2). Soit v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 0, −1), v3 = (1, −2, 1). 1) Justiﬁer pourquoi A est diagonalisable sur R. 2) Donner le spectre de A. 3) Donner dim(E−1). 4) Donner dim(E−2). 5) Donner dim(E2). 6) V´ eriﬁer que v1 ∈E−1. 7) V´ eriﬁer que v2 ∈E−2. 8) V´ eriﬁer que v3 ∈E2. 9) Donner la matrice de passage P de la base canonique de R3 ` a la base de vecteurs propres (v1, v2, v3). 10) Donner la matrice D = P −1AP. 11) Pour n ∈N, exprimer An en fonction de P, P −1 et Dn. uploads/Geographie/ controle-blanc.pdf