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: 2102 (C') 2 3 4 5 0 1 1 x y Exercice 1 Le plan est muni d’un repère orthonorm

: 2102 (C') 2 3 4 5 0 1 1 x y Exercice 1 Le plan est muni d’un repère orthonormé. Soit f une fonction définie et dérivable sur [ 1 2 , 5] telle que sa courbe représentative (C) passe par les points A(1,0) et B(3, 1). Dans la figure ci-contre, on a représenté la courbe (C’) de la dérivée f ’ de la fonction f. Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse. 1) (C) admet une tangente de coefficient directeur -1. 2) L’aire de la partie hachurée est égale à 1. 3) (C) admet une tangente de coefficient directeur 1 2 . 4) Pour tous a et b de [1,3],    f(b) f(a) b a . Contenu  Tangente à une courbe  Notion d’aires  Inégalités des accroissements finis Solutions 1. Faux., car Pour 1 x ,5 2 , f x 0. Par suite f x 1 pour tout 1 x ,5 2 . 2. Vrai. En effet : La fonction f est continue et positive sur 1 ,3 donc l’aire de la partie hachurée est égale à : 3 1 f x dx f 3 f 1 1 0 1. 3. Vrai. En effet : La fonction f est continue sur 1,5 2 et 1 1 f ,5 2 2 donc il existe 1 c ,5 2 tel que 1 f c . 2 4. Vrai. En effet : La fonction f est dérivable sur 1 ,3 et pour x 1 ,3 , f x 1. D’après l’inégalité des accroissements finis, pour tous a et b de 1 ,3 , f b f a b a . MATHS Section : Mathématiques 1ère Session Exercice 2 Dans le plan orienté, AIJ est un triangle quelconque, BAJ et CIJ sont deux triangles isocèles respectivement en B et C tels que   2 6  (BA,BJ)   et   2 6  (CI,CJ)  . On désigne par t la translation de vecteur IA et par rB et rC les rotations de même angle 6  et de centres respectifs B et C. 1) a) Déterminer rC (I). b) Montrer que rB o t(I) = J. c) En déduire que rB o t = rC. 2) Soit K = t (C). Montrer que BC = BK et   2 6  (BC,BK)  . 3) Soit D le point du plan tel que le triangle DIA est isocèle en D et   2 6  (DI,DA)  . a) Soit O le milieu de [AC]. Montrer que l’image du triangle DIA par la symétrie centrale de centre O est le triangle BKC. b) Montrer que ABCD est un parallélogramme. Contenu  Composée rotation et translation  Configuration de base ( triangle isocèle, parallélogramme) Aptitudes visées :  Reconnaître la composée d’une rotation et d’une translation  Exploiter une isométrie pour déterminer la nature d’un quadrilatère. Solutions 1. a) Le triangle CIJ est isocèle en C et CI,CJ 2 6   , par suite CI CJ et CI,CJ 2 6   . On en déduit que C r I J. b) Le triangle BAJ est isocèle en B et BA,BJ 2 6  , par suite BA BJ et BA,BJ 2 6  . On en déduit que B r A J. B t I A r A J donc B r t I J. c) B r t est la composée d’une rotation d’angle 6  et d’une translation donc c’est une rotation d’angle 6 . Or B r t I J, CI CJ et CI,CJ 2 6   . Il en résulte que C est le centre de B r t . On en déduit que B C r t r . 2. Puisque K t C donc B B r t C r K , or B C r t C r C C . Il en résulte que B r K C ou encore BC BK et BC,BK 2 6   . 3. a) On sait que K t C donc CK IA et les points I, A et C ne sont pas alignés donc IAKC est un parallélogramme. Comme O est le milieu de IC donc O est le milieu de IK . Il en résulte que O S I K. d’autre part Le point O est le milieu de AC donc O S A C. Le triangle DIA est isocèle de base IA tel que DI,DA 2 6  . O S I K , O S A C, BK,BC 2 6   et le triangle BKC est isocèle de base KC . On en déduit que l’image du triangle IAD par O S est le triangle BKC. b) L’image du triangle IAD par O S est le triangle BKC, O S I K et O S A C donc O S D Bou encore O est le milieu de BD de plus O est le milieu de AC et les points A, B et C ne sont pas alignés. On en déduit que ABCD est un parallélogramme. Exercice 3 Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, u, v). On désigne par A le point de coordonnées (3 , 2). Soit N un point de l’axe (O, u) et P le point de l’axe (O, v) tel que ANP est un triangle rectangle en A. 1) a) Soit les points E(3 ,0) et F(0,2). Montrer qu'il existe une unique similitude directe S de centre A qui transforme E en F. Donner son rapport et son angle. b) Déterminer l’image de l’axe (O, u) par S. c) En déduire que S(N) = P. d) Soit M un point d’affixe z et M’ le point d’affixe z’ tel que M’ = S(M). Montrer que 3 13 2 2 z' i z i   . 2) a) On note x l’abscisse du point N et y l’ordonnée du point P. Montrer que 3 x + 2 y = 13. b) Déterminer les points N et P dont les coordonnées sont des entiers. Contenu  Similitude directe ( image d’une configuration de base par une similitude directe, expression complexe d’une similitude directe)  Arithmétique Aptitudes visées :  Reconnaître une similitude directe.  Reconnaître l’image d’une droite par une similitude directe.  Identifier l’image d’un point par une similitude directe.  Résoudre un problème d’arithmétique. Solutions 1. a) A E et A F donc il existe une unique similitude directe S de centre A qui envoie E en F, son rapport est AF 3 k AE 2 et son angle a pour mesure   AE,AF 2 . 2 b) S E F et E O,u donc S O,u est la droite passant par F et perpendiculaire à O,u . Il en résulte queS O,u O,v . c) S AN est la droite passant par A et perpendiculaire à AN , il en résulte que S AN AP . N AN O,u donc S N S AN S O,u AP O,v P . D’où S N P. d) S est la similitude directe de centre A d’affixe A z 3 2i, de rapport 3 2 et d’angle 2 . Soit M un point d’affixe z et M’ le point d’affixe z’, image de M par S. L’expression complexe de S est de la forme z' az b, a et b avec ( i ) 2 3 3 a e i 2 2  et b 3 2i 3 1 i 2 donc 13 b i 2 . On en déduit que 3 13 z' iz i. 2 2 2. a) L’affixe de N est N z x et l’affixe de P est P z iy . 3 13 3 13 3 13 S N P iy ix i x i y x 3x 2y 13. 2 2 2 2 2 2 b)N x,0 et P 0,y . x et y sont des entiers si et seulement si x,y est solution de l’équation 3x 2y 13 dans . Résolvons alors dans l’équation E : 3x 2y 13. 1 ,5 est solution de E donc 3x 2y 13 3x 2y 3 1 2 5 3 x 1 2 y 5 . 3 divise 2 y 5 et 3 2 1 donc d’après Gauss 3 divise y 5 par suite y 5 3k avec k ou encore y 3k 5. En remplaçant y par sa valeur dans , on obtient x 2k 1 avec k . Réciproquement3 2k 1 2 3k 5 3 10 13. On en déduit queN 2k 1 ,0 , P 0, 3k 5 aveck . Exercice 4 Un laboratoire de sciences physiques dispose d’un ensemble d’oscilloscopes de même modèle. La durée de vie, en nombre d’années, d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,125. Dans tout l'exercice on donnera les résultats à 10-3 près par défaut. 1) a) Montrer que 10 p (X ) 0,286   . b) Calculer la probabilité uploads/Geographie/ correction-bac-math-2012.pdf