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Corrigé TD (Séries numériques) Exercice 1 Citer les règles de décision sur la c

Corrigé TD (Séries numériques) Exercice 1 Citer les règles de décision sur la convergence des séries numériques. On a une condition nécessaire de convergence : Si la série ∑ n≥0 anconverge alors lim + ∞an=0 Pour les séries à termes positifs ∑ n≥0 an Règle de D’Alembert : Si lim n→∞ an+1 an =l ,alors sil<1lasérie converge Si l>1la série diverge Si l=1onne peut pasconclure . Règle de Cauchy : Si lim n→∞ n √an=l ,onalesmêmesconclusions . Pour les séries alternées :∑ n≥0 (−1) nan avec an≥0 on a le théorème suivant : Si (an¿est décroissanteet lim +∞an=0, alors la série ∑ n≥0 (−1) nanconverge. Comparaison avec une intégrale généralisée : Si f estune fonctiondécroissanteet lim n→∞f (n)=0,alorsla série ∑ n≥0 f (n) et l’intégrale généralisée ∫ 1 +∞ f (x )dx sont demême nature. Exercice 2 Etudier la nature des séries numériques suivantes ∑ n≥0 n 2 n 2+1 ; ∑ n≥1 2 √n ; ∑ n≥0 (2n+1) 4 (7 n 2+1) 3 ; ∑ n≥1 (1−1 n) n ;∑ n≥1 (ne 1 n−n); ∑ n≥1 ln (1+e −n) ; ∑ n≥1( n n+1) n 2 ;∑ n≥1 ¿¿ ; ∑ n≥1 2 n 3 n−2; ∑ n≥1 ln(1− 1 n 2+1 ); ∑ n≥2 (−1 ) nln( n+1 n−1) Réponses : ∑ n≥0 n 2 n 2+1 diverge car lim ∞ n 2 n 2+1 =1≠0 ∑ n≥1 2 √n divergecar 2 √n ≥1 n et∑ n≥1 2 n diverge. ∑ n≥0 (2n+1 ) 4 (7n 2+1) 3 convergecar endeveloppant onobtient (2n+1) 4 (7n 2+1) 3 ≤81 n 2 et ∑ n≥0 1 n 2 converge. ∑ n≥1 (1−1 n) n diverge car lim ∞(1−1 n) n =1 e ≠0 ∑ n≥1 (ne 1 n−n)diverge car lim ∞(ne 1 n−n)=1≠0 ∑ n≥1 ln(1+e −n) On a 0≤ln (1+e −n)≤e −n=( 1 e ) n ( 1 e)<1doncla série∑ n≥1 ln(1+e −n)converge ; ∑ n≥1( n n+1) n 2 :On posean=¿( n n+1) n 2 .Ona¿ n √an=( n n+1) n❑ =(1−1 n+1) n❑ =e nln(1−1 n+1). Donc lim ∞((1−1 n+1) n❑ )=1 e <1 par conséquent la série ∑ n≥1( n n+1) n 2 converge.; ∑ n≥1 1 5 n c ' estunesérie géométriquede raison 1 5<1donc elleconverge. ; il en est de même pour les séries ∑ n≥1 ¿¿ et ∑ n≥1 2 n 3 n−2 . ∑ n≥2 (−1 ) nln( n+1 n−1)estune sériealternée.On pose an=¿ ln( n+1 n−1).¿ onmontre que(a¿¿n)est décroissnateet tend vers 0.¿ ; ∑ n≥1 ln(1− 1 n 2+1 ) .Ici on utilise le développement limité de ln (1−x )=−x−1 2 x 2+x 2ε(x) et on remplace ar 1 n 2+1 . On en déduit que la série ∑ n≥1 ln(1− 1 n 2+1 )est convergente. Exercice 3 On pose un=∫ 0 1 x 2n 1+x 2 dx et vn=(−1) n 2n+1 1) Calculer u0. u0=∫ 0 1 1 1+x 2 dx=arctg x¿0 1 ❑ ❑ = π 4 ¿ 2) Montrer que 0≤un≤ 1 2n+1 un=∫ 0 1 x 2n 1+x 2 dx ≤∫ 0 1 x 2ndx= 1 2n+1 3) Montrer que un+1+un= 1 2n+1 4) En déduire ∑ k=0 k=n vk= π 4 +(−1) nun+1 ∑ k=0 k=n (−1) k 2k+1=∑ k=0 k=n ¿¿)=∑ k=0 k=n ¿¿. On fait un changement d’indice k '=k+1dansla première somme et après simplifiations onobtient cequ ' ilfaut. 5) En déduire que la série ∑ n≥0 vnestconvergente et calculer sa somme. lim n ∑ k=0 k=n vk=lim n π 4 +(−1) nun+1=π 4 Exercice 4 Soit un≥0.On pose vn= un 1+un Démontrer que les séries numériques ∑ n≥0 unet∑ n≥0 vnsont de même nature. 1) Si la série ∑ n≥0 unconverge, alors la série ∑ n≥0 vnconvergecar 0≤vn= un 1+un ≤un 2) Si la série ∑ n≥0 vnconverge alors lim n vn=0 donc à partir d’un certain rang vn≤1 2 or u n=¿ vn 1−vn ¿ donc à partir d’un certain rang 1−vn≥1 2 par conséquent un≤2vn donc ∑ n≥0 unconverge. uploads/Geographie/ corrige-td-series-numeriques.pdf