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Introduction générale • La statistique inférentielle a un aspect décisionnel et

Introduction générale • La statistique inférentielle a un aspect décisionnel et le calcul des probabilité y joue un rôle fondamental. • Etude statistique= étude des caractéristiques d’un ensemble d’objets ( population composée d’individus. • Recensement: les valeurs sont disponibles sur l’ensemble de la population. 8 Introduction générale • Sondage: étude d’une partie de la population (un échantillon). • Le statisticien n’étudie pas le caractère sur l’ensemble de la population mais sur un échantillon extrait de la population pour plusieurs raisons, entre autres: 9 Introduction générale – La taille de la population peut être très importante et le coût de l’enquête serait trop important (coût et temps); – L’accès à tous les individus de la population est matériellement impossible (compléxité, population indéfinie) 10 Introduction générale • Un bon échantillon ( de qualité) doit constituer une image réduite de l’ensemble de la population (représentatif) dont on va étudier un caractère bien défini. Dans le cas contraire on dit que l’échantillon est biaisé. 11 Introduction générale • Comment choisir un échantillon pour qu’il soit représentatif? (techniques d’échantillonnage) • Comment les paramètres de la population peuvent- ils être estimés à partir de l’échantillon? (estimation) 12 Introduction générale • L’échantillonnage désigne l'opération destinée à sélectionner une fraction d'une population, afin de conduire des analyses. • Méthodes de prélèvement d’un échantillon: • Méthode des quotas; • Échantillonnage aléatoire; • Échantillonnage au hasard simple; • Échantillonnage stratifié; • Échantillonnage par grappe;… 13 • La problématique de l’inférence statistique consiste, à partir d’un échantillon de données (technique d échantillonnage, chapitre2) provenant d’une population de loi de probabilité inconnue, à déduire des propriétés sur cette population : quelle est sa loi (problème d’estimation, chapitre 3 et4), comment prendre une décision en contrôlant au mieux le risque de se tromper (problème de test chapitre 5). 14 Introduction générale • L'échantillonnage permet aux statisticiens de tirer des conclusions au sujet d'un tout en y examinant une partie. Il nous permet d'estimer des caractéristiques d'une population en observant directement une partie de l'ensemble de la population. Les chercheurs ne s'intéressent pas à l'échantillon lui-même, mais à ce qu'il est possible d'apprendre à partir de l'enquête et à la façon dont on peut appliquer cette information à l'ensemble de la population. 15 CHI:LOIS USUELLES CONTINUES • Loi normale très utilisée en statistique inférentielle; • Importante = une loi approchée par de nombreux phénomènes naturels; • Dépend de deux paramètres; • Elle est symétrique. 16 ChI: LOIS USUELLES CONTINUES I. LOI NORMALE A. Loi normale générale a. Définition On dit qu’une v.a.r X suit une loi Normale de paramètres et si : 17 ChI: LOIS USUELLES CONTINUES b. Espérance et Variance : c. Caractéristiques : • La courbe de la loi Normale possède la forme en « CLOCHE » • La distribution normale est symétrique par rapport à la droite verticale : X=µ 18 ChI: LOIS USUELLES CONTINUES • Points d’inflexion sont situés à une distance de cet axe de symétrie • f atteint son maximum lorsque x= 19 ChI: LOIS USUELLES CONTINUES • Remarque : La loi Normale générale n’est pas Tabulée B. La loi Normale Centrée et Réduite : a. Variable Centré et Réduite : • Soit X une v.a : • S’appelle Variable Centrée. • S’appelle Variable Centrée et Réduite. 20 ChI: LOIS USUELLES CONTINUES • Si une V.A suit une loi normale générale, il est difficile de calculer sa fonction de répartition F(x). • Pour tous les calculs, on se ramène à la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (une loi TABULEE). • Centrer et réduire une variable, c’est raisonner en nombre d’écart type par rapport à la moyenne. 21 ChI: LOIS USUELLES CONTINUES V.A centrée réduite a pour espérance 0 et écart type 1 • E(U)= 0 • V(U)= 1 • La densité de probabilité de la loi normale centrée réduite : 22 ChI: LOIS USUELLES CONTINUES b. Théorèmes si Quelle est la loi de Y=a X+b? ALORS 23 Chapitre I (suite) • Sachant que X1 et X2 sont indépendant, quelle est la loi de X= aX1+bX2 ? • Conclusion 24 Chapitre I (suite) • Exercice • Soit . Donner la loi de probabilité de • Soit .Donner la loi de probabilité de X1 et X2 sont indépendantes 25 Chapitre I (suite) • C.Théoréme Central Limit (T.C.L) Le TCL sera très précieux puisqu’il nous expliquent que si on fait la somme d’un très grand nombre de variables aléatoire de la loi quelquonque, cette somme suit approximativement une loi normale. 26 Chapitre I (suite) • Soit avec (n) variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes. Alors : • suit une loi Normale de paramètres 27 Chapitre I (suite) D. Calcul des probabilités a. fonction de répartition de Soit et Alors la fonction de répartition est notée Avec Cette fonction est Tabulée 28 Chapitre I (suite) 29 Chapitre I (suite) La lecture de la table • Elle donne la valeur de connue • Elle donne la valeur de (u) pour connue EXEMPLE • Pour les valeurs négatives • Pour les valeurs inférieures à 0,5, on utilise la symétrie de la distribution 30 Chapitre I (suite) • Pour certaines valeurs qui ne figurent pas sur la table, on utilise l’intérpolation linéaire 31 Chapitre I (suite) • Exercices d’applications • Exercice1 • Soit • Calculer • La V.A X suit une loi normale d’espérance 550 et d’Ecart type 100. • Quelle est la probabilité pour que X soit moins de 650, plus de 746, moins de 500, entre 550 et 600 32 Chapitre I (suite) Exercice II • Le temps (en minutes) de fabrication d’un bien par un ouvrier est représenté par une variable normale (X). On considère deux ouvriers A et B travaillent indépendamment l’une de l’autre. • Pour A • Pour B 33 Chapitre I (suite) • Si A et B commencent à travailler au même instant, quelle est la probabilité que A termine avant B, la première unité produite ? Exercice III • Calculer • Déterminer la valeur de U 34 • A la fin de cette partie, l’étudiant doit être capable de: • Expliquer les caractéristiques d’une loi NORMALE; • Définir et expliquer la valeur centrée réduite correspondant a n’importe quelle observation d’une variable normale (toute variable normale peut se convertir en une variable normale centrée réduite); • Déterminer, a l’aide de la distribution normale centrée réduite, la probabilité d’une variable normale se trouvant dans un intervalle donne. 35 Chapitre I (suite) II. Loi de khi-deux (Loi de Karl Pearçon) a. Théorème Soit U1,U2,…,Uv une suite de (v) variables Normales Centrées et réduites indépendantes. X suit une loi de chi deux x2 à (v) dégrée de liberté. 36 Chapitre I (suite) (v représente le paramètre) X=x2 (v) b.Caractéristiques de la distribution de x2 (v) • La distribution x2 (v)est dissymétrique pour les petites valeurs de (v) • La distribution x2 (v) commence à devenir symétrique à partir v=30 37 Chapitre I (suite) c. L’espérance et la variance X=x2 (v) • E(X)= v • V(X)= 2v Exemple X=x2 (10) E(x2 (10))= 10 V(x2 (10))= 2 × 10 X=x2 (5) E(x2 (5))= 5 V(x2 (5))= 2 × 5 38 Chapitre I (suite) d. Comportement asymétrique (Approximation) • Approximation de Fisher: Si v≥30 alors: − • Approximation générale: Si v≥101 alors: 39 Chapitre I (suite) e. Lecture de table de x2 (v) • La table x2 (v) donne les valeurs de la V.A x2 (v) ayant la probabilité α d’être dépassée. • Elle donne: – La probabilité α si x2 (v) et (v)sont connus – La valeur de x2 (v) si α et (v) sont connus. 40 Chapitre I (suite) Exercices d’application Exercice I Déterminera la valeur de (k) dans chacun des cas suivants : • P(x2 (17)>k)=0,25 • P(x2 (24)>k)=0,01 • P(x2 (29)<k)=0,90 41 Chapitre I (suite) Exercice 2 : 1- Calculer le quantile d’ordre 10% pour la V.A x2 (10) . 2- Déterminer la médiane de x2 (15) Exercice 3 : Déterminer les valeurs k1 etk2 dans chacune d des eux cas suivants : • P(k1 < x2 (9) <k2)=0,9 • P(k1 < x2 (50) <k2)=0,98 42 Chapitre I (suite) Rappel : le quantile d’ordre (α) de la variable X est noté (q α) avec : P(X< q α) = α Rappe2: La médiane est la modalité qui partage la série statistique en deux parties égales. Autrement dit : La médiane est le quantile d’ordre α=0,50 43 Chapitre I (suite) Exercice 4 En utilisant l’approximation de Fisher. Calculer la valeur de k1 telle que : P(x2 (60) < k1)=0,8413 Exercice 5 : Soit X= x2 (200) Calculer la valeur de k telle que : P(X>k)=0,0708 44 Chapitre I (suite) III. Loi de Student (William Sealy Gosset) a. Définition Soit U=N(0,1) et X= x2 (v) Avec Uet X sont indépendantes Alors: Suit une loi student à (v) degré de liberté. • Notation : T = stud (v) 45 Chapitre I (suite) b. Espérance mathématique et variance Soit T = stud (v) • E(T)= 0 (existe si v>1) • V(T)= (existe si v>2) c. Comportement asymétrique Soit T = stud uploads/Geographie/ ech-estimation-8-50.pdf