ECRICOME Banque d’épreuves écrites communes aux concours des Ecoles ESC Bordeau

ECRICOME Banque d’épreuves écrites communes aux concours des Ecoles ESC Bordeaux, ESC Marseille-Provence ESC Reims, ESC Rouen, ICN Nancy CONCOURS D’ADMISSION 2001 Option économique MATHÉMATIQUES Mardi 24 avril 2001 de 8h 00 à 12h 00 Durée : 4 heures Aucun instrument de calcul n’est autorisé. Aucun document n’est autorisé. Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les prin- cipaux résultats, à respecter les notations de l’énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations. 1. EXERCICE. Dans cet exercice on étudie l’évolution au cours du temps d’un titre dans une bourse de valeurs. 1.1. Le but de la première partie est de calculer les puissances successives de la matrice : M(a) =   1 −2a a a a 1 −2a a a a 1 −2a   où a représente un nombre réel. 1. Montrer que, pour tous réels a, b, on a : M(a).M(b) = M(a + b −3ab). 2. En déduire les valeurs de a pour lesquelles la matrice M(a) est inversible et exprimer son inverse. 3. Justifier le fait que M(a) est diagonalisable. 4. Déterminer le réel a0 non nul, tel que : [M(a0)]2 = M(a0) 5. On considère les matrices : P = M(a0) et Q = I −P où I désigne la matrice carrée unité d’ordre 3. 1 (a) Montrer qu’il existe un réel α, que l’on exprimera en fonction de a, tel que : M(a) = P + αQ (b) Calculer P 2, QP, PQ, Q2. (c) Pour tout entier naturel n, non nul, montrer que [M(a)]n s’écrit comme combinaison linéaire de P et Q. (d) Expliciter alors la matrice [M(a)]n. 1.2. Évolution d’un titre boursier au cours du temps. Dans la suite de l’exercice, on suppose que a ∈  0, 2 3  . 1. On définit des suites (pn)n∈N∗, (qn)n∈N∗, (rn)n∈N∗par leur premier terme p1, q1, r1, et les relations de récurrence :      pn+1 = (1 −2a)pn + aqn + arn qn+1 = apn + (1 −2a)qn + arn rn+1 = apn + aqn + (1 −2a)rn (a) Exprimer pn, qn, rn en fonction de n, p1, q1, r1. (b) Étudier la convergence de ces suites. 2. Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable, ou baisser. Dans un modèle mathématique, on considère que : — le premier jour le titre est stable ; — si un jour n, le titre monte, le jour n + 1, il montera avec la probabilité 2 3, restera stable avec la probabilité 1 6, et baissera avec la probabilité 1 6 ; — si un jour n, le titre est stable, le jour n + 1, il montera avec la probabilité 1 6, restera stable avec la probabilité 2 3, et baissera avec la probabilité 1 6 ; — si un jour n, le titre baisse, le jour n + 1, il montera avec la probabilité 1 6, restera stable avec la probabilité 1 6, et baissera avec la probabilité 2 3. On note Mn (respectivement Sn, respectivement Bn) l’événement “le titre donné monte (respectivement reste stable, respectivement baisse) le jour n”. (a) Exprimer les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour n+1 en fonction de ces mêmes probabilités au jour n. (b) En déduire les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour n. (c) Quelles sont les limites de ces probabilités lorsque n tend vers l’infini ? 2. EXERCICE. Un système est constitué de n composants. On suppose que les variables aléatoires T1, T2, . . . , Tn mesurant le temps de bon fonctionnement de chacun des n composants sont indépendantes, de même loi, la loi exponentielle de paramètre λ > 0. 2.1. Calcul du nombre moyen de composants défaillants entre les instants 0 et t. On note Nt la variable aléatoire égale au nombre de composants défaillants entre les instants 0 et t avec t ⩾0. 1. Pour tous les entiers i de {1, 2, . . . , n}, calculer la probabilité de l’événement {Ti < t}. 2. Montrer que Nt suit une loi binômiale. Préciser ses paramètres et son espérance E(Nt). 3. À partir de quel instant t0 le nombre moyen de composants défaillants dépasse-t-il la moitié du nombre de composants ? 2.2. Montage en série. On suppose que le système fonctionne correctement si tous les composants eux-mêmes fonctionnent correcte- ment et note Sn la variable aléatoire mesurant le temps de bon fonctionnement du système. 2 1. Pour t ∈R, exprimer l’événement {Sn > t} en fonction des événements : {T1 > t}, {T2 > t}, . . . {Tn > t}. 2. Déterminer alors la fonction de répartition Fn, de Sn, puis définir sa densité fn. 3. Reconnaître la loi de Sn et donner sans calcul l’espérance E(Sn) et la variance V (Sn) de Sn. 2.3. Montage en parallèle. On suppose maintenant que le système fonctionne correctement si l’un au moins des composants fonctionne correctement et note Un la variable aléatoire mesurant le temps de bon fonctionnement du système. 1. Exprimer {Un < t} en fonction des événements {T1 < t}, {T2 < t}, . . . {Tn < t}. 2. Déterminer alors la fonction de répartition Gn de Un puis montrer que sa densité gn est définie par : ( gn(t) = nλ 1 −e−λtn−1 e−λt, t ⩾0 gn(t) = 0, t < 0 3. Montrer l’existence de l’espérance E(Un) de Un et prouver que : E(Un) = 1 λ n−1 X k=0 (−1)k k + 1  n k + 1  puis, que pour tous entiers naturels n, E(Un+1) −E(Un) = 1 λ(n + 1) 4. Par sommation de la relation précédente, et en utilisant l’équivalent simple : n X k=1 1 k ∼ n→+∞ln n donner un équivalent simple de E(Un) lorsque n tend vers +∞. 3. EXERCICE. On désigne par n un entier naturel non nul et a un réel strictement positif. On se propose d’étudier les racines de l’équation : (En) : 1 x + 1 x + 1 + 1 x + 2 + . . . + 1 x + 2n = a À cet effet, on introduit la fonction fn, de la variable réelle x définie par : fn(x) = 1 x + 1 x + 1 + 1 x + 2 + · · · + 1 x + 2n −a 1. Étude d’un cas particulier. Pour cette question seulement, on prend a = 11 6 et n = 1. (a) Représenter la fonction f1 relativement à un repère orthonormal du plan. (unité graphique 2 cm) (b) Calculer f1(1), puis déterminer les racines de (E1). (On donne √ 37 = 6,08 à 10−2 près par défaut) 2. Dénombrement des racines de (En). (a) Dresser le tableau de variations de fn. (b) Justifier l’existence de racines de l’équation (En) et en déterminer le nombre. 3 3. Équivalent de la plus grande des racines quand n tend vers +∞. On note xn la plus grande des racines de (En). (a) Justifier que xn > 0. (b) Démontrer que pour tout réel x > 1 : 1 x < ln x x −1 < 1 x −1 (c) En déduire que pour x réel strictement positif : fn(x) −1 x + a < ln  1 + 2n x  < fn(x) − 1 x + 2n + a puis, que : a −1 xn < ln  1 + 2n xn  < a − 1 xn + 2n (d) Montrer que pour tout n entier naturel, non nul : xn > 2n exp a −1 (e) Quelle est la limite de xn, puis la limite de ln  1 + 2n xn  , lorsque n tend vers +∞? (f) Prouver enfin l’existence d’un réel δ, que l’on exprimera en fonction de a, tel que l’on ait, au voisinage de l’infini, l’équivalent suivant : xn ∼ n→+∞δ.n (ECRICOME 2001) 4 uploads/Geographie/ ecricome-2001-e.pdf

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