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Université des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf -Oran- Faculté des

Université des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf -Oran- Faculté des Mathématiques et Informatiques Département des Mathématiques HAMDAOUI Abdenour Polycopié Probabilités Cours et exercices d’applications Algérie 2019 1 Remerciements J’exprime mes sincères remerciements à Mr. Mounir TLEMCANI, Professeur à l’université des Sciences et de la Technologie d’Oran-Mohamed Boudiaf-, qui m’a fait l’honneur de bien vouloir expertiser ce modeste travail. Je le remercie particulièrement pour ses remarques importantes et ses précieux conseils qui m’ont été très béné…que. Je tiens à exprimer mes respectueux remerciements à Mme. Zohra BENKAMRA, Maitre de Conférences A à l’université des Sciences et de la Technologie d’Oran-Mohamed Boudiaf-, d’avoir accepter d’être expert de mon modeste travail. Je tiens à la remercier pour le temps qu’elle a consacré à la lecture de ce polycopié avec une grande précision. Je la remercie également pour ses commentaires et ses suggestions constructifs, ce qui améliora sans aucun doute la qualité de ce travail. 2 Préface Ce cours à destination des étudiants de deuxième année licence Mathématique LMD, il comporte le module de Probabilités. Il contient l’essentiel de cours avec des exemples. Des exercices d’applications sont proposés avec des solutions en …n de chaque chapitre pour permettre à l’étudiant de tester ses connaissances et de se préparer aux tests et aux examens …naux. D’après mon expérience, lors de l’enseignement de ce module durant quelques années, j’ai décidé de préparer ce polycopié qui contient toutes les notions fondamentales liées à ce module. Vu le programme proposé par le ministère, j’ai partagé ce modeste travail en deux parties essentielles. La première partie contient le chapitre des variables aléatoires dis- crètes et la deuxième comporte le chapitre des variables aléatoires absolument continues. J’ai commencé la présentation de cet ouvrage par un rappel sur les Probabilités et les Probabilités conditionelles (partie enseignée en L1). Ensuite, j’ai présenté les deux autres parties, en respectant le contenu et l’ordre des chapitres suivant le canevas donné par le ministère. En…n, vu les erreurs répétées souvent dans les copies des examens de ce module, j’ai constaté que la majorité des étudiants ne donnent pas l’importance au cours et ils font des exercices en se basant directement sur les corrigés. Je conseille alors les étudiants de lire d’abord le cours attentivement, de faire tous les exemples cités après chaque résultat donné et en…n de passer à résoudre les exercices proposé sans retourner au corrigé. Les solutions des exercices sont utiles uniquement pour tester le niveau des e¤orts fournis par l’étudiant. Finalement, j’espère que ce petit document peut aider les étudiants qui veulent maîtriser bien cette partie de domaine des Probabilités. 3 Table des Matières 1 Probabilité et Probabilité conditionelle 7 1.1 Analyse combinatoire et denombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Permutations avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Arrangements avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Espace de Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Expérience aléatoire, Espace des évènements, Epreuves et évènements 10 1.2.2 Tribus et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 probabilités Conditionelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Théorème des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Théorème de Bayes ou formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.5 Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Variables aléatoires discrètes 32 2.1 Dé…nitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Loi d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Fonction de masse d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . 35 2.2.2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . 38 4 2.2.3 Probabilité attachée à un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Moment d’ordre k; Espérance mathématique et Variance d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Transformation de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Fonctions remarquables liées à une variable aléatoire discrète . . . . . . . . 45 2.5.1 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2 Fonction génératrice des moments d’une variable aléatoire réelle dis- crète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.3 Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle discrète . . . 47 2.6 Quelques lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6.2 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6.3 Loi Uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.4 Loi Hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.5 Loi Géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.6 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.7 Approximation d’une loi Binomiale par une loi de Poisson . . . . . 57 2.6.8 Approximation d’une loi Hypergéométrique par une loi Binomiale . 58 2.7 Exercices . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ pp-ah.pdf