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Géométrie Plane 2015 Soient les points O(9;2) , P(1;−8) et Q(10;−7). Déterminer

Géométrie Plane 2015 Soient les points O(9;2) , P(1;−8) et Q(10;−7). Déterminer les coordonnées du milieu V du segment [OP]. Démontrer que le triangle OPQ est rectangle en Q. EXERCICE 1 Soient les points O(9;2) , P(1;−8) et Q(10;−7). xV = xO + xP 2 = 9 + (1) 2 = 10 2 = 5 yV = yO + yP 2 = 2 + (−8) 2 = −6 2 = −3 Ainsi le milieu du segment [OP] est V(5;−3) OQ = √ (xQ −xO)2 + (yQ −yO)2 = √ (10 −(9))2 + (−7 −(2))2 = √ (1)2 + (−9)2 = √ 82 QP = √ (xP −xQ)2 + (yP −yQ)2 = √ (1 −(10))2 + (−8 −(−7))2 = √ (−9)2 + (−1)2 = √ 82 OP = √ (xP −xO)2 + (yP −yO)2 = √ (1 −(9))2 + (−8 −(2))2 = √ (−8)2 + (−10)2 = √ 164 = 2 √ 41 OQ2 + QP2 = 82 + 82 = 164 or OP2 = 164 ainsi OQ2 + QP2 = OP2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OPQ est rectangle en Q. Comme OQ = PQ, on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en Q. Soient les points V(−5;0), W(−23;14), X(−35;−20) et Y(7;34). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [VW]. Démontrer que le quadrilatère VXWY est un losange. EXERCICE 2 Soient les points V(−5;0), W(−23;14), X(−35;−20) et Y(7;34). xA = xV + xW 2 = −5 + (−23) 2 = −28 2 = −14 yA = yV + yW 2 = 0 + (14) 2 = 14 2 = 7 Ainsi le milieu du segment [VW] est A(−14;7) VX = √ (xX −xV)2 + (yX −yV)2 = √ (−35 −(−5))2 + (−20 −(0))2 = √ (−30)2 + (−20)2 = √ 1300 = 10 √ 13 1 XW = √ (xW −xX)2 + (yW −yX)2 = √ (−23 −(−35))2 + (14 −(−20))2 = √ (12)2 + (34)2 = √ 1300 = 10 √ 13 WY = √ (xY −xW)2 + (yY −yW)2 = √ (7 −(−23))2 + (34 −(14))2 = √ (30)2 + (20)2 = √ 1300 = 10 √ 13 YV = √ (xV −xY)2 + (yV −yY)2 = √ (−5 −(7))2 + (0 −(34))2 = √ (−12)2 + (−34)2 = √ 1300 = 10 √ 13 Comme VX = XW = WY = YV, on en conclut que VXWY est un losange. Soient les points C(−9;−2), D(11;−2), E(11;−6) et F(−9;−6). Déterminer les coordonnées du milieu K du segment [CE] et du milieu L du segment [DF]. Démontrer que le quadrilatère CDEF est un rectangle. EXERCICE 3 Soient les points C(−9;−2), D(11;−2), E(11;−6) et F(−9;−6). xK = xC + xE 2 = −9 + (11) 2 = 2 2 = 1 yK = yC + yE 2 = −2 + (−6) 2 = −8 2 = −4 Ainsi le milieu du segment [CE] est K(1;−4) xL = xD + xF 2 = 11 + (−9) 2 = 2 2 = 1 yL = yD + yF 2 = −2 + (−6) 2 = −8 2 = −4 Ainsi le milieu du segment [DF] est L(1;−4) CE = √ (xE −xC)2 + (yE −yC)2 = √ (11 −(−9))2 + (−6 −(−2))2 = √ (20)2 + (−4)2 = √ 416 = 4 √ 26 DF = √ (xF −xD)2 + (yF −yD)2 = √ (−9 −(11))2 + (−6 −(−2))2 = √ (−20)2 + (−4)2 = √ 416 = 4 √ 26 Comme les diagonales ont même longueur puisque CE = DF, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque K = L on en conclut que CDEF est un rectangle. 2 Soient les points G(7;−1) , H(23;33) et I(32;8). Déterminer les coordonnées du milieu N du segment [GH]. Démontrer que le triangle GHI est rectangle en I. EXERCICE 4 Soient les points G(7;−1) , H(23;33) et I(32;8). xN = xG + xH 2 = 7 + (23) 2 = 30 2 = 15 yN = yG + yH 2 = −1 + (33) 2 = 32 2 = 16 Ainsi le milieu du segment [GH] est N(15;16) GI = √ (xI −xG)2 + (yI −yG)2 = √ (32 −(7))2 + (8 −(−1))2 = √ (25)2 + (9)2 = √ 706 IH = √ (xH −xI)2 + (yH −yI)2 = √ (23 −(32))2 + (33 −(8))2 = √ (−9)2 + (25)2 = √ 706 GH = √ (xH −xG)2 + (yH −yG)2 = √ (23 −(7))2 + (33 −(−1))2 = √ (16)2 + (34)2 = √ 1412 = 2 √ 353 GI2 + IH2 = 706 + 706 = 1412 or GH2 = 1412 ainsi GI2 + IH2 = GH2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en I. Comme GI = HI, on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en I. Soient les points B(7;−8), C(−1;−8), D(−1;10) et E(7;10). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [BD] et du milieu K du segment [CE]. Démontrer que le quadrilatère BCDE est un rectangle. EXERCICE 5 Soient les points B(7;−8), C(−1;−8), D(−1;10) et E(7;10). xJ = xB + xD 2 = 7 + (−1) 2 = 6 2 = 3 yJ = yB + yD 2 = −8 + (10) 2 = 2 2 = 1 Ainsi le milieu du segment [BD] est J(3;1) xK = xC + xE 2 = −1 + (7) 2 = 6 2 = 3 yK = yC + yE 2 = −8 + (10) 2 = 2 2 = 1 Ainsi le milieu du segment [CE] est K(3;1) 3 BD = √ (xD −xB)2 + (yD −yB)2 = √ (−1 −(7))2 + (10 −(−8))2 = √ (−8)2 + (18)2 = √ 388 = 2 √ 97 CE = √ (xE −xC)2 + (yE −yC)2 = √ (7 −(−1))2 + (10 −(−8))2 = √ (8)2 + (18)2 = √ 388 = 2 √ 97 Comme les diagonales ont même longueur puisque BD = CE, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque J = K on en conclut que BCDE est un rectangle. Soient les points M(10;1), N(16;13), O(−17;22) et P(43;−8). Déterminer les coordonnées du milieu U du segment [MN]. Démontrer que le quadrilatère MONP est un losange. EXERCICE 6 Soient les points M(10;1), N(16;13), O(−17;22) et P(43;−8). xU = xM + xN 2 = 10 + (16) 2 = 26 2 = 13 yU = yM + yN 2 = 1 + (13) 2 = 14 2 = 7 Ainsi le milieu du segment [MN] est U(13;7) MO = √ (xO −xM)2 + (yO −yM)2 = √ (−17 −(10))2 + (22 −(1))2 = √ (−27)2 + (21)2 = √ 1170 = 3 √ 130 ON = √ (xN −xO)2 + (yN −yO)2 = √ (16 −(−17))2 + (13 −(22))2 = √ (33)2 + (−9)2 = √ 1170 = 3 √ 130 NP = √ (xP −xN)2 + (yP −yN)2 = √ (43 −(16))2 + (−8 −(13))2 = √ (27)2 + (−21)2 = √ 1170 = 3 √ 130 PM = √ (xM −xP)2 + (yM −yP)2 = √ (10 −(43))2 + (1 −(−8))2 = √ (−33)2 + (9)2 = √ 1170 = 3 √ 130 Comme MO = ON = NP = PM, on en conclut que MONP est un losange. Soient les points P(0;−7), Q(0;11), R(−18;2) et S(18;2). Déterminer les coordonnées du milieu X du segment [PQ]. Démontrer que le quadrilatère PRQS est un losange. EXERCICE 7 4 Soient les points P(0;−7), Q(0;11), R(−18;2) et S(18;2). xX = xP + xQ 2 = 0 + (0) 2 = 0 2 = 0 yX = yP + yQ 2 = −7 + (11) 2 = 4 2 = 2 Ainsi le milieu du segment [PQ] est X(0;2) PR = √ (xR −xP)2 + (yR −yP)2 = √ (−18 −(0))2 + (2 −(−7))2 = √ (−18)2 + (9)2 = √ 405 = 9 √ 5 RQ = √ (xQ −xR)2 + (yQ −yR)2 = √ (0 −(−18))2 + (11 −(2))2 = √ (18)2 + (9)2 = √ 405 = 9 √ 5 QS = √ (xS −xQ)2 + (yS −yQ)2 = √ (18 −(0))2 + (2 −(11))2 = √ (18)2 + (−9)2 = √ 405 = 9 √ 5 SP = √ (xP −xS)2 + (yP −yS)2 = √ (0 −(18))2 + (−7 −(2))2 = √ (−18)2 + (−9)2 = √ 405 = 9 √ 5 Comme PR = RQ = QS = SP, on en conclut que PRQS est un losange. Soient les points G(2;−10), H(−12;−10), I(−12;4) et J(2;4). Déterminer les coordonnées du milieu O du segment [GI] et du milieu P du segment [HJ]. Démontrer que le quadrilatère GHIJ est un rectangle. EXERCICE 8 Soient les points G(2;−10), H(−12;−10), I(−12;4) et J(2;4). xO = xG + xI 2 = 2 + (−12) 2 = −10 2 = −5 yO = yG + yI 2 = −10 + (4) 2 = −6 2 = −3 Ainsi le milieu du segment [GI] est O(−5;−3) xP = uploads/Geographie/ geometrie-enonce-sup-3727-avec-corrige 1 .pdf