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1 ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATIST

1 ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR -SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2001 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIES A et B ORDRE GENERAL DUREE : 3 HEURES Les candidats traiteront l’un des 3 sujets au choix. SUJET N° 1 Comparez la Passion et la Volonté. SUJET N° 2 Peut-on qualifier d’inhumaines certaines actions de l‘homme et pourquoi ? SUJET N° 3 L’inégalité des hommes rend-elle impossible l’égalité des citoyens ? www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info 1 ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR - SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2001 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIE A PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 4 HEURES EXERCICE n° 1 On considère la fonction f définie sur l’ensemble ) R R ( * * + + × par β α = y x ) y , x ( f , où * R + désigne l’ensemble des nombres réels strictement positifs et β α, appartiennent à * R + . Pour y fixé dans * R + , on pose ) y , x ( f ) x ( g = . Etudier les variations de g selon les valeurs de α et donner l’allure de son graphe. On suppose que pour tout couple ) y , x ( de ) R R ( * * + + × , on a : R by ax ≤ + , où R , b , a sont des réels strictement positifs. Déterminer ) y , x ( f Max x ( x Max désigne le maximum de f en x ). Etudier les variations de la fonction h définie par : β α − = t a bt R ) t ( h , où 0 b , a , R , , > β α et 1 = β + α www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info 2 EXERCICE n° 2 Soit f la fonction réelle définie par : x ) 1 x ( Ln ) x ( f + = , où Ln désigne le logarithme népérien. Etudier les variations de f et donner l’allure de son graphe. Montrer que f admet un unique point fixe sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs. EXERCICE n° 3 Au jeu de la roulette américaine, il y a 38 numéros ; de 1 à 36, plus le zéro et le double zéro. Chaque joueur a la possibilité de miser sur un numéro, deux numéros ensemble, trois, quatre, six, douze ou dix huit. Les 38 numéros sont équiprobables et rapportent le même gain pour la même mise. A chaque jeu, un seul numéro est gagnant. Il revient au même de miser un jeton sur un seul numéro x et un autre jeton sur un autre numéro y que de miser deux jetons sur l’ensemble des deux numéros x et y. Il en est de même pour les autres combinaisons. Les stratégies de jeu sont donc équivalentes au niveau des gains. Le gain pour un seul numéro joué est de 35 fois la mise et on récupère sa mise (par exemple, pour une mise de 100 sur un seul numéro gagnant, on obtient 3600, soit un gain net de 3500). Quel est le gain obtenu lorsque l’on mise sur 2 numéros, sur 3 numéros, sur 6 numéros ? Quelle est la probabilité que le numéro x sorte deux fois de suite ? Quelle est la probabilité pour que le couple (x,y) soit gagnant sur deux jeux consécutifs. A votre avis existe-il une stratégie gagnante ? Expliquer. www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info 3 PROBLEME On considère la fonction numérique a f définie par : ) ( ) ( x Ln ax x fa + − = où Ln désigne le logarithme népérien et a est un réel strictement positif. Déterminer, selon les valeurs de a, le nombre de racines de l’équation 0 ) x ( f = . Donner l’allure du graphe de 2 1 f ( 2 1 a = ). Calculer l’aire comprise entre le graphe de 2 1 f , l’axe des abscisses, les droites x=1 et x=2. Montrer que pour tout ] [ 1 , 0 ∈ α , et tout 0 t , x > , on a : ) t ( f ) 1 ( ) x ( f ) t ) 1 ( x ( f α − + α ≤ α − + α Etudier, selon les valeurs de a, la convergence de la suite ) u ( n définie par : 0 u 0 > et n 1 n au u = + . Etudier la suite ) v ( n définie par : 0 v0 > et ) v ( Ln v 2 1 v n n 1 n − = + . www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info 1 ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR - SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2001 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIE A DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 3 HEURES Exercice n° 1 Une urne contient n boules numérotées de 1 à n, où n≥3. On suppose que le tirage de chacune des boules est équiprobable. On tire une boule, on note son numéro et on le remet dans l’urne. Puis on tire une seconde boule, on en note le numéro. On appelle X la variable aléatoire définie de la façon suivante : 1) si les deux numéros sont égaux, X prend leur valeur commune 2) si les deux numéros sont différents, X prend la valeur du plus grand des deux 1) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : E2 : X = 2 E3 : X = 3 Ep : X = p, où p est un entier tel que 1≤p≤n. 2) Calculer l’espérance de X. On utilisera les expressions de : = n p p 1 et = n p p 1 ² www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info 2 Exercice n° 2 Pour tout entier naturel n ≥1, on pose : dt e t n I t n n n 2 1 0 1 ) 1 ( ! 2 1 − = + 1) Calculer I1 à l'aide d'une intégration par parties. 2) Démontrer que pour tout entier naturel n ≥1, on a : )! 1 ( 2 1 1 1 + − = + + n I I n n n 3) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n ≥1, on a : n n I n e + + + + = ! 1 2 1 ... ! 1 1 2 1 1 4) Montrer qu'on peut trouver une constante A telle que : A n I n n ! 2 1 0 ≤ ≤ On pourra déterminer A en majorant sur l'intervalle [0, 1] la fonction : t →(1 - t)n et/2 En déduire la limite quand n tend vers l'infini de la suite : ! 1 2 1 ... ! 1 1 2 1 1 n u n n + + + = www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info 3 PROBLEME On considère le plan affine euclidien P muni d'un repère orthonormé ) , , ( j i O ; C est l'ensemble des nombres complexes et i le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2. On définit pour tout z de C les deux applications f et g de C dans C par : f(z) = z3 + 4(1 - i)z² - 2(2 + 7i)z - 16 + 8i g(z) = z3 + 2 - 2i I ) 1) Déterminer le module et l'argument de chacun des nombres complexes z qui vérifient g(z)=0. Représenter dans le plan les points ayant pour affixes les nombres trouvés. Quelle est la nature du triangle formé par ces points. 2) Montrer qu'il existe un réel unique r, que l'on déterminera, qui vérifie f(r)=0. Déterminer les deux nombres complexes a et b de façon à avoir : f(z) = (z - r)(z² + az + b) pour tout z de C 3) Résoudre dans C l'équation f(z) = 0. Démontrer que les points dont les affixes sont solutions de cette équation forment un triangle rectangle dans le plan P. 4) Soient A, B, C les points de P dont les affixes respectives sont : −1+3i, 1+i et −4. Déterminer l'affixe du barycentre G des points A, B, C affectés respectivement des coefficients 4, 3 et 5. 5) On désigne par h l'application du plan P vers l'ensemble des réels R qui à tout point M de P associe le réel : . . 3 . 2 . ) ( MA MC MC MB MB MA M h + + = uploads/Geographie/ itsa2001-pdf.pdf