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[4] La première preuve de l’existence d’un système de numération nous ramène en

[4] La première preuve de l’existence d’un système de numération nous ramène en 35000 av. J.-C. A cette époque, la numération telle que nous la connaissons n’existait pas encore, celle- ci n’apparaitra en Europe qu’au Xe siècle. Néanmoins, un os découvert en Afrique sur lequel 29 encoches sont taillées nous prouve bien que les hommes possédaient déjà un système pour compter. Celui-ci va alors évoluer, comme le montre un autre os retrouvé en Moravie (République Tchèque) succédant le premier de 5000 ans où les 55 encoches ont été regroupées par 5. Deux théories se disputent l’apparition de la numération. La première, et celle qui compte le plus d’adeptes, est qu’il était devenu indispensable de pouvoir compter les objets qui nous entouraient. Par exemple, il était nécessaire pour un berger de chiffrer ses moutons. La deuxième concerne les cérémonies religieuses. L’ordre des participants était très important, et donc l’utilisation des nombres ordinaux était nécessaire pour le bon déroulement de ces cérémonies. L’HISTOIRE DES NOMBRES DE LA PREHISTOIRE A AUJOURD’HUI La naissance de la numération est un événement lointain, très lointain, tant au niveau temporel que spatial. Nous devrions donc remonter le temps de quelques milliers d’années pour pouvoir l’observer mais également acquérir la capacité de nous dédoubler car oui, la numération est née à plusieurs endroits différents. Tout commença avec un os... Figure I.1 : L’os de Lebombo, daté d’environ 35000 ans et marqué de 29 entailles : la plus ancienne trace “numérique” trouvée dans une grotte en Afrique du sud. [5] Avec le développement des sociétés, de la communication, de l’artisanat et du commerce, l’homme fut confronté à de nouveaux besoins. Il ne s’agissait plus seulement de représenter visuellement les quantités, il fallait également garder durablement le souvenir des dénombrements : l’apparition de l’économie obligea à la mémorisation des comptes. C’est en Mésopotamie, une région du Croissant fertile (l’Irak actuel et une partie de la Turquie, de la Syrie, du Soudan …) qu’apparaît une forme plus évoluée de numération. Le berger, pour compter les têtes de son troupeau n’avait pas besoin de connaître les nombres : il se contentait de mettre un caillou dans un sac au passage de chaque bête. Cette méthode rudimentaire, dite à juste titre « du berger », fut utilisée par des paysans illettrés jusqu’à la ﬁn du XIXe. Le caillou serait donc à l’origine du calcul … Ce n’est pas surprenant quand on connaît l’étymologie du mot calcul (cailloux se disant calculus en latin). L’utilisation d’entailles dans un os présentait néanmoins un avantage par rapport à la méthode du berger : nul besoin de transporter quantité de cailloux. Cette numération figurée basée sur la correspondance un à un – une entaille ou un caillou = 1 bête - porte le nom de numération unaire. L’homme, avec tous ses outils (cailloux, bâtonnets, doigts, etc.) se mit alors à compter et à concevoir des ensembles de plus en plus grands. Mais il rencontra vite un problème : comment représenter des nombres élevés de manière efficace ? Il parait évident qu’on ne peut pas additionner ou multiplier indéfiniment des pierres et que, s’il fallait inventer un nom pour chaque nombre, notre mémoire serait mise à rude épreuve. C’est là que l’esprit pragmatique de l’homme intervient : il eut l’idée de regrouper les cailloux et les encoches par paquets. La notion de base fit graduellement son apparition. Et bien que la base 10, que nous employons aujourd’hui fut depuis l’aube de la numération la plus répandue, certains peuples utilisèrent d’autres bases pour compter. Figure I.2 : Bois de renne entaillé datant du Paléolithique (15 000 ans av. J.-C.) Et qu’en est-il de l’origine des mathématiques ? Certains pensent que les débuts des mathématiques sont apparus en Egypte. En effet, les Égyptiens auraient inventé la géométrie pour faciliter la redistribution des parcelles après la crue annuelle du Nil. Une autre théorie dit qu’elles nous viennent des prêtres qui les pratiquaient et les développaient de manière totalement désintéressée pour occuper leurs journées peu productives. [6] En 8000 av. J.-C., pour laisser une trace de leurs différentes transactions, les Sumériens attribuèrent différentes valeurs à de petits jetons en argile, appelés calculi, dont la valeur dépendait de leur taille et de leur forme : le petit cône pour l’unité, la bille pour la dizaine, le grand cône pour la soixantaine, le grand cône perforé pour dix soixantaines … Ces jetons d’argiles que l’on pourrait apparenter à nos actuelles pièces de monnaie, étaient glissés dans une sphère creuse en argile marquée par des sceaux qui en garantissaient l’origine et l’intégralité. Ainsi, par exemple, si la bulle de terre contenait le dénombrement d’un troupeau confié à un berger, lorsque celui-ci le ramenait, il leur suffisait de briser la bulle-enveloppe pour vérifier qu’aucune bête ne manquait. Des petits cailloux aux calculi. Figure I.4 : Calculi de Mésopotamie Figure I.3 : Carte du proche Orient, le Croissant fertile (noms actuels en italique) [7] Le fait de briser l’enveloppe présentait néanmoins un inconvénient: ce système était incapable de garder traces d’opérations effectuées sur ces quantités. Petit à petit, l’homme commença à noter le contenu de la bulle d’argile sur le dessus de celle-ci, afin de réaliser des contrôles intermédiaires sans avoir à la casser : les petits calculi devinrent inutiles et les bulles- enveloppes se transformèrent en tablettes. Ainsi, c’est une invention majeure qui permit une nouvelle avancée dans l’histoire de la numération : l’apparition de l’écriture. Après tout, l’écriture ne fut-elle pas inventée pour satisfaire des besoins comptables ? Sur ces tablettes comptables, l’écriture des chiffres était encore très rudimentaire : à l’aide d’un calame, tige de roseau biseautée, on marquait une empreinte dans l’argile en forme de coin (du latin cuneus, d’où l’appellation écriture cunéiforme), dont la profondeur et l’orientation déterminaient la valeur représentée. Petit à petit, cette écriture cunéiforme évolua pour donner naissance au système de numération babylonien que nous décrivons en page 29. De la numération préhistorique à la numération arabe, il n’y a pas qu’un pas ! Des milliers d’années séparent les os préhistoriques de nos nombres arabes. Et durant tout ce temps, le monde a vu naitre et évoluer de nombreux systèmes de numération, visant toujours l’efficacité et donc la simplicité. Ces systèmes peuvent être classés en trois groupes : les systèmes additifs, hybrides et positionnels que nous vous présentons ci-après. Des calculi aux premiers chiffres Figure I.5 : Tablette de comptes à écriture pictographique [8] I. LE SYSTÈME DE NUMERATION ADDITIONNEL Le système de numération additionnel est le tout premier type de système utilisé. Il fonctionnait selon une addition d’un même symbole représentant une unité, une dizaine, une centaine, etc. Pour illustrer cette façon additive de dénombrer dans ce dossier, nous allons traiter les systèmes historiques égyptien, grec, romain, tchouvache et arménien. Nous présenterons également le système navi, qui n’a jamais vu le jour sur cette terre puisqu’il est sorti de l’imagination du réalisateur James Cameron. Figure I.6 : Carte du monde [9] LE SYSTÈME DE NUMERATION ADDITIONNEL Le système de numération égyptien Dans l’Egypte ancienne, la notation des chiffres était basée, comme l’écriture, sur les hiéroglyphes. Les hiéroglyphes représentaient en général des objets, comme des plantes, des animaux ou des dieux. Les Egyptiens utilisaient un système de numération additif de base 10. Celui-ci est apparu en 3000 avant Jésus Christ. Chaque puissance successive de 10 était représentée par un signe particulier (cfr. tableau 1). Ce système ne possédait pas de symbole pour représenter le zéro car celui-ci n’était pas utile. Les symboles pouvaient être répétés jusqu’à 9 fois, puisque les Egyptiens travaillaient en base 10, et étaient regroupés par grandeur. Figure I.7 : Carte de l'Egypte antique, le delta du Nil, De La Porte 1786 [10] LE SYSTÈME DE NUMERATION ADDITIONNEL Tableau 1 : Conversion des hiéroglyphes Valeur Signe hiéroglyphique 1 # Le bâton 10 $ L’anse de panier 100 % Le rouleau de papyrus 1000 4 La fleur de lotus 10 000 5 Le doigt levé vers le ciel 100 000 7 Le têtard, sans doute du fait du nombre élevé de ceux-ci au bord du Nil 1000 000 ) Dieu agenouillé soutenant le monde entier On remarque que les Egyptiens écrivaient de droite à gauche. Voici un nombre beaucoup plus grand : ##### ##### ##### ##### #### #### #### #### $$ $$ $$ $$ %%% %%% %%% %%% %% %% %% %% 444 444 444 444 444 444 444 444 5555 5555 5555 5555 77 77 77 77 7 7 7 7 Les chiffres ci-dessus doivent être lus à la fois verticalement et horizontalement. Nous obtenons donc le nombre 346 529. Le système était additionnel : on répétait chaque signe autant de fois que nécessaire. Pour représenter les nombres, on écrivait le symbole désignant 1 autant de fois que le nombre comportait d’unités et le symbole mis pour 10 autant de fois que le nombre comportait de dizaines, etc. Par exemple, voici la représentation du nombre 2014 : #### $ 44 #### $ 44 #### $ 44 #### $ 44 L’avantage de cette notation est la facilité de uploads/Geographie/ les-bases-nous-rendent-des-comptes-i-histoire.pdf