UFR Mathématiques et Informatique No ......... Laboratoire de Mathématique Appl

UFR Mathématiques et Informatique No ......... Laboratoire de Mathématique Appliquée et Informatique Année académique 2018-2019     MEMOIRE DE MASTER Mention : Mathématiques et Applications Spécialité : EDP, Analyse Numérique et Optimisation Présenté à L’UNIVERSITÉ FELIX HOUPHOUÊT BOIGNY Par DOSSO KESSE PHILIPPE THEME DU MEMOIRE : DYNAMIQUE DES INTERACTIONS ENTRE DES POPULATIONS D’HUMAINS ET DE MOUSTIQUES : CAS DU PALUDISME Soutenu publiquement le 03 Mars 2020 Devant le jury Président : Mr. DOSSO Mouhamadou, Maître de Conférences à l’UFR-MI, Université FHB; Directeur : Mr. NINDJIN Aka Fulgence, Maître de Conférences à l’UFR-MI, Université FHB; Co-directeur : Mr. BAILLY Balé, Maître Assistant à l’UFR-MI, Université FHB; Dédicace On donne sa vie pour ce que l’on aime. A mon défunt père, qui peut être fier et trouver ici le résultat de longues années de sacrifices et de privations pour m’aider à avancer dans la vie. Puisse DIEU faire en sorte que ce travail porte son fruit . Merci pour les valeurs nobles, l’éducation et le soutien permanent venu de toi. A ma défunte mère, qui a oeuvré pour ma réussite, de par son soutien, tous les sacrifices consentis et ses précieux conseils, pour toute son assistance et sa présence dans ma vie de tous les jours. O` u que tu te trouves reçois à travers ce travail aussi modeste soit-il, l’expression de mes sentiments et de mon éternelle gratitude. A ma femme et mes enfants, qui n’ont cessé d’être pour moi une source de persévérance, de courage et de générosité. Remerciements Tout d’abord je remercie ALLAH le tout puissant et miséricordieux, qui m’a donné la force et la patience d’accomplir ce modeste travail. Je tiens à remercier le corps professoral et administratif de l’UFR-MI (1) pour la richesse et la qualité de leur enseignement et qui déploient de grands efforts pour assurer à leurs étudiants une bonne formation. Je tiens à remercier sincèrement le Professeur NINDJIN Aka Fulgence et le Professeur BAILLY Balé, pour leur orientation, leur confiance, leur patience qui ont constitué un apport considérable sans lequel ce travail n’aurait pas pu être mené à bon port. Qu’ils trouvent dans ce travail un hommage vivant à leur haute personnalité. Mes sincères remerciements vont également à l’endroit du Professeur DOSSO Mouhamadou pour l’honneur qu’il me fait de présider cje jury. Je remercie aussi les professeurs ADOU Kablan Jérôme,OKOU Hypolite, COULIBALY Adama, KOUA Brou et toute l’équipe EDP, pour leurs critiques et leurs remarques durant tout mon cursus universitaire. J’adresse mes plus sincères remerciements aux membres de Jury, d’avoir ac- cepté de juger mon travail. Je remercie également le doctorant ALLA N’guessan Fabrice pour l’aide et les conseils concernant ce sujet, qu’il m’a apporté lors des différents suivis. Dans l’impossibilité de citer tous les noms, mes sincères remerciements vont à tous ceux et celles qui, de près ou de loin, ont permis par leurs conseils et leurs compétences la réalisation de ce mémoire. (1). Unité de Formation et de Recherche en Mathématiques et Informatique TABLE DES MATIÈRES I Biologie et Epidémiologie du paludisme 1 I.1 Agent responsable et son cycle de vie . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 .1 Dans l’organisme humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 .2 Dans l’organisme du moustique . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2 Mode de vie du vecteur moustique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Traitement préventif ou curatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Immunité acquise contre le paludisme . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.5 Répartition géographique du paludisme . . . . . . . . . . . . . . 5 I.6 Perspectives de vaccins contre le paludisme . . . . . . . . . . . . 6 I.7 Programme de contrôle optimal du paludisme . . . . . . . . . . 8 II Généralités sur les systèmes dynamiques 9 II.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.2 Analyse de la stabilité des points d’équilibre . . . . . . . . . . . 10 II.2 .1 Stabilité des points d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.2 .2 Stabilité et fonction de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 10 II.2 .3 Principe d’invariance de LaSalle . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2 .4 Matrice de Metzler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2 .5 Rayon Spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.3 Règle des signes de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.4 Nombre de reproduction R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.4 .1 Définition et intérêt de R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.4 .2 Détermination de R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III Modélisation du problème 16 III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.2 Elaboration du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 TABLE DES MATIÈRES III.2 .1 Définitions des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.2 .2 Les Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.2 .3 Dynamique des deux populations en l’absence de maladie 20 III.2 .4 Intéraction entre les humains et les moustiques . . . . . . 20 III.3 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III.3 .1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III.3 .2 Equations du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 III.4 Existence de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 IV Analyse mathématique du modèle 27 IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 IV.2 Analyse des points d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 IV.3 Analyse de la stabilité des points d’équilibre . . . . . . . . . . . 33 IV.3 .1 Linéarisation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 IV.3 .2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IV.4 Mise en oeuvre numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 IV.4 .1 Paramètres du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 IV.4 .2 Simulation et Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 DOSSO Kesse Phillipe NOTATIONS ⋄ R L’ensemble des nombres réels. ⋄ N L’ensemble des entiers naturels. ⋄ ⟨., .⟩ Le produit scalaire euclidien sur Rn (n ∈N⋆). ⋄ ∥.∥ La norme associée au produit scalaire ⟨., .⟩. ⋄ K2(A) Le conditionnement de la matrice A. ⋄ Ck(Ω) L’ensemble des fonctions de classe k uploads/Geographie/ m2-dosso-kesse.pdf

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