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Statistique Mathématique O. Wintenberger ii Préambule Ce polycopié s’adresse au

Statistique Mathématique O. Wintenberger ii Préambule Ce polycopié s’adresse aux étudiants ayant suivi un cours d’intégration, un pre- mier cours de probabilité et un premier cours de statistique. Les notions d’algèbre linéaire et de probabilités requises sont dans le fascicule "Rappels utiles au cours de statistique mathématique" disponible à l’adresse http ://wintenberger.fr/ens. La première partie présente les notions fondamentales de l’inférence statistique, à savoir les notions d’échantillonnage, d’empirique et d’information. La seconde par- tie traite de l’estimation, ponctuelle ou par intervalle de conﬁance. La troisième partie introduit la notion de test statistique. Table des matières I Premiers principes de l’inférence statistique 3 1 L’échantillon aléatoire 5 1.1 Population de taille ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Expérience renouvelable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 L’échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 La méthode empirique 9 2.1 La moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 L’espérance de la moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 La matrice de variance-covariance de Xn . . . . . . . . . . . 11 2.1.3 Loi de la moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.4 La loi asymptotique de la moyenne empirique . . . . . . . . 12 2.2 La matrice de variance-covariance empirique . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 L’espérance de S2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 La variance de S2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.3 La loi de S2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.4 La loi asymptotique de S2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Le couple (Xn, S2 n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 L’espérance de (Xn, S2 n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 La loi de (Xn, S2 n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 La loi asymptotique de (Xn, S2 n) . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1 L’espérance du moment empirique . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.2 Loi asymptotique du moment empirique . . . . . . . . . . . 19 2.5 Fonction de répartition empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5.1 La loi de Fn(x) avec x ∈R ﬁxé . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5.2 La loi asymptotique de Fn(x) avec x ∈R ﬁxé . . . . . . . . 20 3 Théorie de l’information de Fisher 21 3.1 Propriétés des statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 Déﬁnition de la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iii iv TABLE DES MATIÈRES 3.1.2 Statistique d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3 Statistique paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.4 Statistique exhaustive et statistique libre . . . . . . . . . . . 24 3.2 Information au sens de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Lien entre l’information au sens de Fisher et la statistique . . . . . 29 II L’estimation statistique 31 4 Approche non asymptotique 35 4.1 Critères de comparaison d’estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.1 Le risque quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.2 Décomposition biais-variance du risque . . . . . . . . . . . . 36 4.1.3 Comparaison des variances des estimateurs sans biais . . . . 36 4.1.4 Modèles réguliers et eﬃcacité d’estimateurs . . . . . . . . . 37 4.2 Modèles de la famille exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.1 Déﬁnitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.2 Notion d’identiﬁabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Estimation non asymptotique dans la famille exponentielle . . . . . 42 4.3.1 Théorème de Lehmann-Scheﬀé . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4 Eﬃcacité et modèles de la famille exponentielle . . . . . . . . . . . 43 5 Approche asymptotique 45 5.1 Critères asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.1 Estimateur asymptotiquement sans biais . . . . . . . . . . . 45 5.1.2 Estimateur convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.1.3 Eﬃcacité asymptotique d’un estimateur . . . . . . . . . . . 46 5.2 Les Z-estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.1 Les moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2.2 La méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2.3 La méthode des moments généralisés . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.4 Extension : les quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3 Les M-estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3.1 Paramètre de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3.2 Estimateur des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3.3 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4 Comparaison des Z et M-estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6 La racine de l’équation de vraisemblance 59 6.1 Conditions du premier et second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Propriétés non asymptotiques de uploads/Geographie/ statistique-mathematique.pdf